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Beweise
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mariecurie
Gast






BeitragVerfasst am: 27 Jan 2005 - 22:16:44    Titel: Beweise

Hallo!

Ich studiere Physik, bin eigentlich recht gut in mathe, nur die Beweise fallen mir schwer.
Wer weiß wie man beweist, dass
1) F(b)-F(a) die Fläche unter der kurve ist? (meine idee; numerisch integrieren, trapezformel oder so?)

2) eine n-elementige Menge n! Permutationen besitzt. (es ist ja eh logisch, aber wie beweist man das?)

Danke!!
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 27 Jan 2005 - 22:32:11    Titel:

1) F(b)-F(a) die Fläche unter der kurve ist? (meine idee; numerisch integrieren, trapezformel oder so?)

F(x) gibt es eigentlich nicht. Es gibt F_a(x) mit der Semantik:

F_a(x) = int_a^x f(t) dt

Am sonsten Stimmt die Aufgabenstellung für nichtpositive Funktionen nicht. Den "Beweis", dass es bei einer positiven Funktion geht erbringst Du wohl durch Einsetzen:

F_c(b) - F_c(a) = int_c^b f(x) dx - int_c^a f(x) dx =
int_c^b f(x) dx + int_a^c f(x) dx=
int_a^b f(x) dx

und das kann man als "Fläche" ansehen.

2) eine n-elementige Menge n! Permutationen besitzt. (es ist ja eh logisch, aber wie beweist man das?)

Induktion:

n = 1. Es gibt nur eine Permutation n! = 1!=1

Gelte obiges für ein n in N_0.
Betrachte eine n+1 elementige Menge. Ein beliebiges Element daraus zu wählen gibt es n+1 möglichkeitn. Danach hast Du ohne das gewählte Element jeweils eine n-Elementige Menge für die Es n! Permutationen gibt. D.h. es gibt für jedes der n+1 Elemente eine n! Elementige disjunkte Menge von Permutationen mit dem n+1 Element an der ersten Stelle. D.h. Die Anzahl davon ist (n+1)*n!
Mirona
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Anmeldungsdatum: 13.01.2005
Beiträge: 239

BeitragVerfasst am: 28 Jan 2005 - 13:49:41    Titel:

Hallo,

ich möchte zur ersten Aufgabe noch anmerken, das in einem gewissen Sinne die Behauptung so gar nicht beweisbar ist.

Das Integral wird als (eine mögliche) Verallgemeinerung gewisser Grössen (zum Beispiel Flächeninhalt oder Volumen) verstanden.

Bestenfalls kann man beweisen, das der so definierte Integral-Flächeninhaltsbegriff für bestimmte Mengen ( Dreiecke, Vierecke, Kreise,...) mit einem anderen Flächeninhaltsbegriff (zum Beispiel aus der Elementargeometrie bekannte explizite Formeln für den Elementar-Flächeninhalt von Dreiecken, Vierecken, Kreisen,...) übereinstimmt.

Kurz gesagt, der Begriff "Fläche unter einer Kurve" wird erst vermittels der Integrierbarkeit und des Integrals (je nach Interpretation mit gewissen weiteren Regeln) definiert.

MfG Mirona
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