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Herb
Gast






BeitragVerfasst am: 27 Jan 2005 - 22:18:37    Titel: Stammfunktion

Hallo, kann mir bitte einer helfen.

Aufg.: Wie lautet die Stammfunktion zu f(x)=1/4+sqrt1/4+x)+x


Danke!
hartwork
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Anmeldungsdatum: 21.06.2004
Beiträge: 109
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 28 Jan 2005 - 15:31:37    Titel:

hab selber bei der lösung deiner aufgabe ne menge gelernt.
ich hoffe ich kann das weitergeben...


1.
wir betrachten jeden summanden einzeln:

f1(x) = 1/4
f2(x) = sqrt(1/4 + x)
f3(x) = x

f(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x)

die stammfunktionen zu f1 und f3
lassen sich direkt bestimmen:

F1(x) = 1/4*x
F3(x) = (x^2)/2


2.
ich werde im folgenden "$" als integral-zeichen benutzen.
außerdem werd ich die integrationskonstante c weglassen.

2.0
$ sqrt(1/4 + x) dx

2.1
wir substituieren x = t^2 - 1/4 und lassen so die
wurzel verschwinden:

<=> $ sqrt(1/4 + t^2 - 1/4) * (t^2 - 1/4)' dt
<=> $ sqrt(t^2) * 2*t dt
<=> $ 2*(t^2) dt
<=> 2 * $ t^2 dt
<=> 2 * (t^3)/3

2.2
jetzt machen wir die substitution wieder rückgängig.
(siehe auch [url=http://de.wikipedia.org/wiki/Substitutionsregel#Substitution_eines_unbestimmten_Integrals]
Substitution eines unbestimmten Integrals[/url])

dazu stellen wir x = t^2 - 1/4 nach t um, erhalten
t = sqrt(1/4 + x) und setzen dann ein:

<=> 2 * (sqrt(1/4 + x)^3)/3
<=> 2/3 * sqrt((1/4 + x)^3)


wir erhalten also:

F2(x) = 2/3 * sqrt((1/4 + x)^3)

und somit

F(x) = 1/4*x + 2/3*sqrt((1/4 + x)^3) + (x^2)/2
Gast







BeitragVerfasst am: 28 Jan 2005 - 15:54:13    Titel:

angeber
hartwork
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Anmeldungsdatum: 21.06.2004
Beiträge: 109
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 28 Jan 2005 - 16:59:10    Titel:

angeber? wieso!? Laughing

wegen der "kompetenten nachhilfe"?
weil ich "selber ne menge dabei gelernt hab"?
ich hab nicht behauptet, gott der mathematik zu sein.

herr "Gast" warum beantworten sie nicht
selbst fragen statt hier leute anzumachen,
die ihre zeit dafür opfern, anderen völlig
kostenfrei in mathe zu helfen!? Wink
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