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Parameterform der Ebenengleichung
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Guest
Gast






BeitragVerfasst am: 28 Jan 2005 - 21:27:09    Titel: Parameterform der Ebenengleichung

...Schon wieder diese Ebenen
Kann mir bitte wer verklickern welche Ebenen hier dargestellt sind:

(?/?/?) steht für Spaltenvektoren
a und b sind Elemente aus R
r steht für Ortsvektor

1) r=(2/0/3)+a(4/0/5)+b(3/0/2)

Ich kann hier nur rauslesen, dass sie in der xz-Ebene liegt und den Stützpunkt (2/0/3) hat. Geht da noch was???

2) r=(4/3/1)+a(1/1/1)+b(2/2/2)

Hier denke ich .....ääähh.... die Koordinaten der Richtungsvektoren
weisen vielleicht auf irgend ne evtl. Winkelhalbierung von irgendwas
oder so hin????


Inwiefern beeinflusst denn der Stützvektor hier die lage der Ebene bzw. der Richtungsvektoren???

Ach und vielleicht weiß noch jemand was die Symmetrieebenen der jeweiligen Grundebene in einem Kartesischen Koordinaten System sind???

Ja weiß schon Fragen über Fragen....
Mirona
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Anmeldungsdatum: 13.01.2005
Beiträge: 239

BeitragVerfasst am: 28 Jan 2005 - 21:39:25    Titel:

Hallo,

also über die zweite "Ebene" lässt sich noch etwas aussagen. (Beachte meine Anführungszeichen)

MfG Mirona
Gast







BeitragVerfasst am: 28 Jan 2005 - 21:47:46    Titel:

Very Happy Danke erstmal....

...Dacht ich mir bei der zweiten fast schon, dass die Koordinaten der Richtugsvektoren wohl auf einer Geraden liegen...

Weißt du vielleicht auch noch meine anderen
Fragen zu beantworten??? Rolling Eyes
Gast







BeitragVerfasst am: 28 Jan 2005 - 23:29:43    Titel:

Eine Ebene ist nichts anderes als ein Blatt Papier, das du in einer bestimmten Lage in die Luft hältst. Das heißt, die Ebene ist im Koordinatensystem fixiert.
Die Ebene besteht aber nicht nur aus der Fläche dieses Blatt Papiers, sondern zieht sich in alle Richtungen des Blattes durchs ganze Universum.
Wenn ich ein Blatt Papier in die Luft halte und du siehst dieses Blatt nicht, was muss ich dir dann für Informationen über das Blatt geben, damit du dein Blatt in der komplett gleichen Lage in die Luft halten kannst?
- einen Punkt, durch den die Ebene geht und 2 Richtungsvektoren. Der Richtungsvektor ist wie ein Bleistift, der auf dem Blatt drauf liegt.
Wenn ich dir nur einen Bleistift geben würde und einen Punkt, so könntest du das Blatt nicht eindeutig in einer bestimmten Lage halten. Wenn ich dir aber 2 Bleistifte und einen Punkt gebe, so kannst du das Blatt genau auflegen und NUR IN DIESER LAGE auflegen - in keiner anderen.
Das heißt, die Ebene ist dann eindeutig fixiert im Koordinatensystem.

Der Stützvektor = der Punkt der Ebene...keine Ahnung, wieso man so einen idiotischen Begriff dafür gewählt hat.
Ein Punkt ist eindeutig fixiert im Koordinatensystem. Ein Vektor ist nicht fixiert im Koordinatensystem. Der Vektor ( Bleistift) hüpft ständig herum, aber immer genau mit derselben Richtung und Länge.
Du kannst den Vektor in jeden Punkt versetzen, den du möchtest.
Wenn du einen Vektor in einen Punkt versetzt, so hast du die Lage einer Geraden im Raum fixiert.
Wenn du 2 Vektoren in einen Punkt versetzt, so hast du die Lage einer Ebene im Raum fixiert.
Bei deiner 2. "Ebene" hast du ein und denselben Vektor. Der 2. ist bloß doppelt so lang, aber beide gehen in dieselbe Richtung. Daher ist das eigentlich nur ein einziger Richtungsvektor. Du brauchst aber 2 unterschiedliche Richtungen, damit du die Ebenengleichung bekannt geben kannst.
Aber deine Formulierung: beide Vektoren liegen auf einer Geraden ist eigentlich "falsch", denn es ist ein und derselbe Richtungsvektor...und der liegt nicht auf einer Geraden...sondern einfach auf der Ebene drauf....bzw. er hüpft ständig auf dem Blatt herum, ohne fixiert zu sein.
Aber er hüpft immer parallel herum.
Zu deiner Frage, was die Stützvektoren über die Ebenen aussagen:

Der Stützvektor ist ein Punkt der Ebene (er stützt die Ebene, sodass sie fixiert ist im Raum - ohne Punkt würde die Ebene ständig parallel herumhüpfen und du hättest keine fixe Lage).
Bei 2 Ebenen kann folgendes passieren:
1. Sie können parallel sein - das erkennt man am Normalvektor der beiden Ebenen...Wenn der eine Normalvektor ein Vielfaches vom anderen ist, dann heißt das, beide Ebenen haben dieselbe Richtung - dann entscheidet nur noch die Punkte, ob die Ebenen identisch sind oder wirklich parallel. Denn wenn beide Ebenen ein und dieselbe sind, dann muss der Punkt der einen Ebene auf der anderen drauf liegen.
2. Sie können ident sein - siehe oben
3. Sie können einander schneiden und das tun sie, wenn die Normalvektoren beider Ebenen unterschiedlich sind.

Normalvektor einer Ebene = Kreuzprodukt 2-er Richtungsvektoren der Ebene.

lg katja
Gast







BeitragVerfasst am: 29 Jan 2005 - 01:12:22    Titel:

Aller besten Dank für diese eingängige Erklärung... Razz
Hat meine Vorstellung wirklich erweitert. Very Happy

Die Parallelität zweier Ebenen kann ich doch auch ermitteln, indem ich
jeweils das Spatprodukt aus den beiden Richtungsvektoren der ersten und je einem Richtungsvektor der zweiten Ebene bilde.
Sind beide Spatprodukte Null und die Stützvektoren der beiden Ebenengleichung identisch, so sind doch die Flächen auch identisch?
Sind die Stützvektoren nicht identisch, so müssten die Ebenen parallel sein????
Gast







BeitragVerfasst am: 29 Jan 2005 - 03:07:40    Titel:

Nö...das mit den Vektoren ist richtig. Aber die Punkte der beiden Ebenen müssen nicht identisch sein. Das heißt, die Ebenen können dann trotzdem identisch sein, auch wenn in beiden Ebenengleichungen zwei verschiedene Punkte gegeben sind und zwar deswegen, weil ja eine Ebene aus unendlich vielen Punkten besteht. Und ich kann ja für die 1. Ebene irgendeinen Punkt nehmen, der drauf liegt und für die 2. Ebenengleichung, die identisch ist mit der 1., einen anderen Punkt, der auch drauf ist.
Ich geb dir mal ein Beispiel:

e1: X = (1/3/5) + u * (1/ 1/1) + v * (-2/1/4)
e2: X = (0 / 5 / 10 ) + u * (-3 / - 3/ -3) + v * (6 / -3/ -Cool

die zwei Ebenengleichung schauen total unterschiedlich aus auf den 1. Blick und doch ist es ein und dieselbe Ebene.
Die Richtungsvektoren der einen Ebene sind ein Vielfaches der anderen Ebene und es sind 2 verschiedene Punkte gegeben.
Aber nun setz mal den Punkt der 2. Ebene (0 / 5 / 10 ) für x, y und z in die 1. Ebene ein und du wirst sehen, dass für u und v jedesmal das selbe rauskommt. Das heißt, der 2. Punkt liegt auf der 1. Ebene und das bedeutet, dass beide identisch sind - unter der Voraussetzung dass du das mit den Vektoren vorher überprüft hast.
Liegt der Punkt der 2. Gleichung nicht auf der 1. Ebene, dann sind beide logischerweise parallel.

Die Ebenengleichung ist bloß dazu da, dass du dir jeden beliebigen Punkt X (x/y/z), der auf der Ebene drauf ist, berechnen kannst. Deswegen steht da: X = blablabla.......denn dieses X ist irgendein beliebiger Punkt X mit den Koordinaten (x / y / z), der auf der Ebene liegt.
Wenn du nun für x und y beliebig einsetzt, so ist die Ebenengleichung dazu verpflichtet, dir das dazugehörige z zu sagen, sodass der Punkt auf der Ebene liegt.
Die Ebenengleichung besagt eigentlich folgendes:

X = bekannter Punkt + u * 1. Richtungsvektor +v * 2. Richtungsvektor

Zu einem beliebigen Punkt X (x/y/z) komme ich, wenn ich einen Punkt kenne und von diesem soundsooft mal (= u-mal) den einen Richtungsvektor auftrage und dann von dort soundsooft mal (v-mal) den anderen Richtungsvektor auftrage.

Denn einen Punkt berechnet man, indem man zu den Koordinaten eines bekannten Punktes die Koordinaten JENES Vektors dazurechnet, der vom bekannten Punkt bis zum gesuchten Punkt reicht.
Das heißt, wenn ich zu dem bekannten Punkt meiner Ebenengleichung die 2 Richtungsvektoren dazuaddiere, dann erhalte ich einen Punkt meiner Ebene.
Wenn du beliebige Punkte berechnen willst, kannst das entweder so machen, wie ich das da oben beschrieben habe, indem du für x und y beliebig einsetzt und das z dazu berechnest, ODER du sagst:
Ich will jenen Punkt, der von meinem bekannten Punkt z.b. 3 mal den 1. Richtungsvektor und dann -100 mal den 2. Richtungsvektor entfernt ist.
Du kannst für u und v beliebig einsetzen, dann erhältst du auch beliebige Punkte der Ebene.

Leg ein Blatt auf den Tisch und stell dir vor, das Blatt würde durchs ganze Universum gehen - das ist nun deine Ebene. Dann leg 2 Bleistifte in verschiedener Richtung drauf. Das sind deine Richtungsvektoren. Dann zeichne einen Punkt auf das Blatt und nun setz den einen Bleistift, ohne die Richtung zu verändern mit dem Ende in den Punkt und schieb ihn 3 mal weiter, dann nimm den andern Bleistift und leg ihn zweimal hintereinander, ohne die Richtung zu verändern, mit dem Endpunkt in die Spitze des 1. Bleistifts. Und dort, wo nun die Spitze deines 2. Bleistiftes ist, DIESEN Punkt hast du berechnet, wenn du für u = 3 einsetzt und für v = 2 einsetzt.

hmm..hab schon wieder Romane geschrieben. Vielleicht liest dir das ja durch und wenn du nachvollziehen kannst, was ich geschrieben hab, dann wars nicht umsonst....und wenn du noch Fragen hast, beantwort ich die gern.

lg katja
Zarathustra
Gast






BeitragVerfasst am: 29 Jan 2005 - 16:22:13    Titel:

Dankeschön nochmal....die Romane lesen sich recht gut..

...Geht schon wesentlich schneller so über Kollinearitäts- und Punkt- Probe statt über`s Spatprodukt etc. ....


...und klingt einleuchtend!!! Idea
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