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euklidische Räume / Determinante
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xaggi
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Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 29 Jan 2005 - 11:55:55    Titel: euklidische Räume / Determinante

Tag zusammen,

(V,b) soll ein euklidischer Raum sein und v1, v2, ... vn Vektoren.
ich soll zeigen dass die Menge {v1, v2, ..., vn} genau dann linear unabhängig ist, wenn die determinante der Matrix A = (a_ij) mit a_ij = b(vi, vj) ungleich 0 ist.

Die richtung det A ungleich 0 => lineare Unabhängigkeit ist einfach. Das krieg ich hin.

Aber ich schaff es nicht, zu zeigen, dass aus linearer Unabhängigkeit auch det A ungleich 0 folgt. Hat jemand nen Tipp?
Mirona
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Anmeldungsdatum: 13.01.2005
Beiträge: 239

BeitragVerfasst am: 29 Jan 2005 - 15:15:44    Titel:

Hallo,

ich hätte einen Vorschlag.

Schritt 1)

v1 bis vn sind linear unabhängig, das heisst

t1*v1+ ... + tn *vn = 0 ===> t1=...=tn=0 gilt für alle Skalare t1,....,tn

(in der linken Gleichung steht der Nullvektor, rechts die skalare Null)

Schritt 2)

die linke Gleichung bei Schritt eins wird mit b( * , vj) multipliziert ( für ein festes j), das heisst

0=b(0,vj)=b(t1*v1+ ... +tn*vn,vj)=t1*b(v1,vj)+ ... + tn*b(vn,vj)=t1*a_j1 + ... + tn*a_jn

(links steht die skalare Null, im letzten Schritt hab ich wegen a_ij=a_ji gleich die Indices vertauscht)

Schritt 3)

Führt man Schritt 2 für alle j = 1 .... n durch und schreibt die n erhaltenden Gleichungen untereinander, so steht da :

0 = t1 * A_@1 + ... + tn* A_@n

(links steht der Nullvektor , die Bezeichnung A_@k sei die k-te Spalte der Matrix A )

Schritt 4)

da t1,...,tn beliebige Skalare sind, folgt aus Schritt 1 und Schritt 3 :

t1* A_@1 + ... + tn * A_@n = 0 ====> t1=...=tn=0 gilt für alle Skalare t1,...,tn

das heisst die Spalten der Matrix A sind linear unabhängig

Schritt 5)

Da die Spalten der Matrix A linear unabhängig sind, hat A vollen Spaltenrang, damit vollen Rang und damit eine Determinante ungleich Null.

MfG Mirona
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