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Konvergenz einer Reihe
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BeitragVerfasst am: 29 Jan 2005 - 12:44:17    Titel: Konvergenz einer Reihe

Hab ein problem mit dieser Aufgabe:
Beweisen Sie, dass e unendliche Reihe ∑1/(k*(k+1)*(k+2)) für k=1 gegen unend. gegen 1/4 konvergiert. Ich soll wohl irgendwie benutzen, dass 1/(k*(k+1))=1/k - 1/(k+1). Hab es schon mehrmals versucht, bin aber irgenwie immer gescheitert! Crying or Very sad

Danke im voraus!
Mirona
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Anmeldungsdatum: 13.01.2005
Beiträge: 239

BeitragVerfasst am: 29 Jan 2005 - 19:37:36    Titel:

Hallo,

Möglicherweise hilft folgendes :

Sei S(G1,G2,Term) die Summe von k=G1 bis k=G2 von (Term)^(-1) und @ für unendlich.

Zu berechnen ist S(1,@,k(k+1)(k+2)).

Schritt 1 )

Anwenden der gegebenen Hilfsgleichung und ausmultiplizieren liefert :

S(1,@,k(k+1)(k+2)) = S(1,@,k(k+2)) - S(1,@,(k+1)(k+2))

Die Gültigkeit dieser Umformung wird erst durch die Schritte 2 und 3 deutlich, welche zeigen , das die beiden Summen auf der rechten Seite konvergieren

Schritt 2)

Berechnen von S(1,@,k(k+2)).

Indextransformation liefert S(1,@,k(k+2)) = S(2,@,(k-1)(k+1)).

Es gilt weiterhin S(2,n,(k-1)(k+1)) = 3/4 - (2n+1)/(2n(n+1)) .

Lässt man n gegen unendlich gehen, so folgt S(2,n,(k-1)(k+1)) = 3/4 .

Also gilt für den ersten Summanden in Schritt 1: S(1,@,k(k+2))= 3/4.

Schritt 3)

Berechnung von S(1,@,(k+1)(k+2)) .

Es gilt weiterhin S(1,n,(k+1)(k+2)) = n / (2(n+2)) .

Lässt man n gegen unendlich gehen, so folgt S(1,@,(k+1)(k+2)) = 1/2 .

Schritt 4)

Einsetzen der Ergebnisse von Schritt 2 und 3 in Schritt 1 liefert für die gesuchte Summe den Grenzwert:

S(1,@,k(k+1)(k+2)) = 3/4 - 1/2 = 1/4.

MfG Mirona
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