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pellsche Gleichung?!
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halli2007
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Anmeldungsdatum: 02.04.2007
Beiträge: 726
Wohnort: Freiburg

BeitragVerfasst am: 10 Aug 2007 - 14:59:07    Titel: pellsche Gleichung?!

Hallo,

Ich habe diese pellsche Gleichung gelöst:
y²-2x²=+-1

1+1/2=3/2
1+1/(2+1/2)=7/5
1+1/(2+1/(2+1/2))=17/12
1+1/(2+1/(2+1/(2+1/2)))=41/29
...

Somit habe ich diese Lösungen:
x1=2 y1=3
x1=7 y1=5
x1=17 y1=12
x1=41 y1=29

Meine eigentliche Frage:
Wie kann ich diese Gleichung lösen...und wie nennt man sie?
y²-2x²=+-5


Zuletzt bearbeitet von halli2007 am 10 Aug 2007 - 16:06:02, insgesamt einmal bearbeitet
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 10 Aug 2007 - 15:18:26    Titel:

Hallo !

Siehe: http://www.math.uni-bielefeld.de/~hoffmann/kettenbr/ausarb11.pdf

y²-2x²=+-1
y/x nähert sich mit größer werden x und y gegen Wurzel(2).

Der Witz an y²-2x²=L ist:
Je größer x und y sind, desto mehr verschwindet L gegenüber x und y.
|: x² => (y/x)²-2=L/x²
x und y sollen nun so gegen oo sterben, dass y/x gegen einen definierten Wert entsprechend der Gleichung konvergiert.
x->oo => (y/x)²-2 -> 0 , also y/x -> Wurzel(2).

Die ganzen Umformungen dienen nun dazu, systematisch ganzzahlige x und y zu erzeugen,
und mit y/x eine gute Näherung, hier für Wurzel(2), zu erhalten.
halli2007
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Anmeldungsdatum: 02.04.2007
Beiträge: 726
Wohnort: Freiburg

BeitragVerfasst am: 10 Aug 2007 - 15:26:48    Titel:

danke, aber wie löse ich so eine Gleichung:
Zitat:
y²-2x²=+-5

und heißt sie immer noch "Pellsche Gleichung" ?
EDIT: Ich habe mir deinen Link angschaut, da steht: x²-dy=L, 0<L<Wurzel(d). Also hat diese Gleichung keine Lösung?
Aber das würde ja heißen, dass auch x²-2y²=+-7 keine Lösung hätte! Aber es hat unteranderem die Lösung x=5 und y=3...
ok "0<L<Wurzel(d)" steht wohl nur für die Pellsche Gleichung, wie heißt diese denn dann: y²-2x²=+-5 ?
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 10 Aug 2007 - 15:55:14    Titel:

y²-2x²=+-5 heißt nicht Pellsche Gleichung.
Es ist einfach eine quadratische Gleichung, sonst nichts.

y² - Dx² = L
--> y = +-Wurzel(L+Dx²)

Es gibt hier unendlich viel Lösungen.
Man erzeugt nun Paare (x,y), mit denen Wurzel(D) systematisch angenähert wird.

Der Witz ist ja gerade, 0<L<Wurzel(D) als Bedingung zu haben, um Bedingungen
für x/y-Wurzel(D) oder y/x-Wurzel(D) in Form von Ungleichungen zu erzeugen,
so dass mit diesen die Konvergenz von x/y oder y/x gegen Wurzel(D) nachgewiesen wird.
halli2007
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Anmeldungsdatum: 02.04.2007
Beiträge: 726
Wohnort: Freiburg

BeitragVerfasst am: 10 Aug 2007 - 16:03:36    Titel:

Zitat:
Man erzeugt nun Paare (x,y), mit denen Wurzel(D) systematisch angenähert wird.

das gilt ja nur für eine pellsche Gleichunh, aber nicht für diese:
y²-2x²=+-5
Wie löst man die? Ich habe irgendwie das Gefühl, dass ich vor lautern Bäumen wieder den Wald nicht seh... Shocked
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 10 Aug 2007 - 16:07:32    Titel:

Was meinst Du mit "lösen" ?

y² - Dx² = L
--> y = +-Wurzel(L+Dx²)

gilt für beliebige L und D, sofern L+Dx² >= 0.
halli2007
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Anmeldungsdatum: 02.04.2007
Beiträge: 726
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BeitragVerfasst am: 10 Aug 2007 - 16:11:56    Titel:

ich meine, wie kann ich eine Lösung für y²-2x²=+-5 finden?
Wie bei einer pellschen Gleichung kann ich ja nicht vorgehen?!
Zitat:
y² - Dx² = L
--> y = +-Wurzel(L+Dx²)

Das bringt mich auch nicht richtig weiter:
(5+2x²)^(1/2)-2x²=5
und weiter?
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 10 Aug 2007 - 17:01:56    Titel:

Du suchst die ganzzahligen Lösungen von y²-2x² = +-5 ?!
Das gehört in den Bereich Diophantische Gleichungen.
Müßte mich erst mal (wieder) damit beschäftigen.

y²-2x² = 5 --> y:=2a+1 ungerade
(2a+1)²-2x² = 5
|-1
4a²+4a-2x² = 4
|:4
a(a+1)-2(x/2)² = 1 mit x/2 ganzzahlig
a(a+1) ist stets gerade, 2(x/2)² ebenso, jedoch ist 1 ungerade
=> keine Lösung (x,y) möglich


Zuletzt bearbeitet von Winni am 10 Aug 2007 - 17:19:02, insgesamt einmal bearbeitet
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 23405

BeitragVerfasst am: 10 Aug 2007 - 17:17:06    Titel:

Hallo!

Auch hier gibt es eine ausgebaute Theorie zur Lösung von solchen Gleichungen. Hier ist es aber wesentlich einfacher die Gleichung einmal modulo 5 zu betrachten:

y^2-2x^2==0 (mod 5) <==> y^2==2*x^2 (mod 5)

Ist x !== 0 (mod 5), so gilt (y/x)^2==2 (mod 5), was ein Widerspruch ist, da 2 kein quadratischer Rest modulo 5 ist (die quadr. Reste sind 0, 1 und 4).

Also mu ss x==0(mod 5) und deshalb auch y==0 (mod 5) sein, damit ist aber y^2-2*x^2==0 (mod 25), was ein Widerspruch zu y^2-2x^2=+-5 ist.


Also gibt es keine Lösungen...


Zur allgemeinen Theorie:

Man findet alle rationalen Punkte auf einer quadr. Form, indem man einen Punkt auf ihr findet, und dann alle Geraden durch diesen Punkt mit rationalem Anstieg mit der Kurve schneiden lässt...

Die ganzzahligen Lösungen zu ermitteln, ist aber noch ein Stück schwieriger...


Cyrix
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 10 Aug 2007 - 17:24:29    Titel:

... das setzt voraus, dass halli2007 die modulo-Rechnung bekannt ist ... Smile
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