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Vollständige Induktion
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algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 30 Jan 2005 - 23:03:30    Titel:

Zitat:
Das Problem ist, dass alle n natürliche Zahlen sind. Und die Vollständige Induktion ist eine gute Metode Ungleichungen zu beweisen.


Das würde ich Dir nur dann abkaufen, wenn da keine Wurzelausdrücke verwendet werden würden. Eigentlich sind wir bei der Aufgabe in R.
serbernar
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Anmeldungsdatum: 30.01.2005
Beiträge: 5

BeitragVerfasst am: 30 Jan 2005 - 23:22:48    Titel:

Ehrlich gesagt versuche ich deine Methode diese Aufgabe zu lösen zu verstehen, aber klappt nicht. Kannst du noch ein Mal die erklären. Bitte.
Gruss
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 30 Jan 2005 - 23:31:45    Titel:

Meinst Du das hier:

Zitat:

Basis: n = 3
3 + sqrt(3) < 5 < 3*sqrt(3)
Sei n aus N_3 und gelte n + sqrt(n) < n sqrt(n)
Dann gilt
(n+1)sqrt(n+1) = n sqrt(n+1) + sqrt(n+1) > n sqrt(n) + sqrt(n+1) > (I.A.) n + sqrt(n) + sqrt(n+1) > (n > 2) (n + 1) + sqrt(n+1)


Da ist eigentlich nichts dran. Induktion mit Basisfall 3 über n >= 3.

Induktionsanfang ist klar.

IA: Für ein n >= 3 gilt, n + sqrt(n) < n sqrt(n)

IS: Für n+1 schaut das Problem so aus: zu zeigen

(n+1)sqrt(n+1) > (n+1)+sqrt(n+1)

Naja. Und jetzt nur langsam abschwächen:

(n+1)sqrt(n+1) = (Ausmultiplizieren)
n sqrt(n+1) + sqrt(n+1) > (wegen sqrt(n+1) > sqrt(n))
n sqrt(n) + sqrt(n+1) > (nach I.A. gilt n sqrt(n) > n + sqrt(n))
n + sqrt(n) + sqrt(n+1) > (wegen n > 2 ist sqrt(n) > 1)
(n + 1) sqrt(n+1)

Also gilt das ganze für alle n >= 3.
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