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Gleichung dritten Grades
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andrO
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Anmeldungsdatum: 26.11.2006
Beiträge: 49

BeitragVerfasst am: 15 Aug 2007 - 18:13:56    Titel: Gleichung dritten Grades

Hallo zusammen,

folgende, wohlmöglich einfache Aufgabe, bereitet mir gerade kleine Probleme:

f ( x ) = ax^3 + bx^2 + cx + d ---> f ' ( x ) = 3ax^2 + 2bx + c

Es geht hier um eine Aufgabe, in dem man einen unterbrochenen Graphen sinnvoll schließen soll. Orginal Fragestellung: Wie könnte eine sinnvolle Straßenverbindung verlaufen ?

So nun habe ich hier zwei Punkte des Graphen:
P1 ( 0 | 0 ) ; P2 ( 1 | 1 )

Folgende Bedingungen:

P1 ( 0 | 0 ) liegt auf dem Graphen f ( 0 ) = 0 ---> d = 0
P2 ( 1 | 1 ) liegt auf dem Graphen f ( 1 ) = 1 ---> a+b+c+d = 1

Graph darf keinen Knick machen bei ( 0 | 0 ) und ebenfalls bei ( 1 | 1 )

f ' ( 0 ) = 1 ---> c = 1
f ' ( 1 ) = 0 ---> 3a+2b+c = 0

Danach müssen noch die Unbekannten herausgefunden werden.
Wie gehts weiter ? Verbirgt sich eventuell schon ein Fehler bei f ' ( 1 ) ?

Welche Werte nehmen a, b unc c an ? ( d ist ja bereits 0 )

Vielen Dank
andrO
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 15 Aug 2007 - 18:20:32    Titel:

Welche Ausrichtung haben denn die beiden zu verbindenen Straßen ? LAufen beide parallel zur x-Achse oder zur y-Achse; hat eine den Anstieg 1 und die andere 2 ? Wenn das nicht gegeben ist, dann solltest du die Anstiege an den Stellen 0 und 1 als Parameter hernehmen.
Diaz001
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Anmeldungsdatum: 15.08.2007
Beiträge: 16

BeitragVerfasst am: 15 Aug 2007 - 18:30:34    Titel:

genau durchrechnen kann ich das jetzt zeitlich nicht, du musst beachten, dass an der der stelle wo die graphen abgehackt sind, die straße geschmeidig einläuft, sprich an diesem punkt die gleiche steigunge ist --> ableitung.
als verbindung nimmst du eine ganzrationale f dritten gerades, die du dann mit einigen bedingung (Steigung am anfang bzw. ende und beliebiger punkt) einschränkst.
dann klappt das.
andrO
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Anmeldungsdatum: 26.11.2006
Beiträge: 49

BeitragVerfasst am: 15 Aug 2007 - 19:06:17    Titel:

hmmm, ich komme einfach nicht weiter...
wie komme ich jetzt auf a, b und c ?

ich bin mir auch nicht sicher ob

f'(1) = 0 ---> 3a+2b+c = 0 ist, da ich in einem Eintrag gelesen habe das es bei dem jenigen 4 sind bei der selben Ableitung!!

Hier mal der Graph schnell in Paint... Die eingezeichnete "Kurve" bzw. der eingezeichnete Wendepunkt ist das fehlene Stück der Straße...

[img]http://www.bilder-speicher.de/image_490.php?id=07081520831956&vary=1[/img]
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)

BeitragVerfasst am: 15 Aug 2007 - 19:12:53    Titel:

Nach dem Bild zu urteilen, gehe ich mal davon aus, dass die erste Straße den Anstieg 1 hat und die zweite den Anstieg 0. Daraus folgt:

f(0) = 1
f'(0) = 1
f(1) = 1
f'(1) = 0

Vier tolle Gleichungen mit denen du nun rechnen kannst.
andrO
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Anmeldungsdatum: 26.11.2006
Beiträge: 49

BeitragVerfasst am: 15 Aug 2007 - 20:16:06    Titel:

wie kommst du auf diese Gleichungen ?
Wenn ich die beiden Punkte eingebe kommen bei mir andere Werte raus --> siehe oben !
p-a-t
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Anmeldungsdatum: 14.08.2007
Beiträge: 51

BeitragVerfasst am: 15 Aug 2007 - 20:34:19    Titel:

wenn du P1 ( 0 | 0 ) in f ' ( x ) = 3ax^2 + 2bx + c einsetzt erhälst du doch
c = 0 oder sehe ich da jetzt was falsch?

P2 ( 1 | 1 ) in f ' ( x ) = 3ax^2 + 2bx + c
wäre dann 3a + 2b + c = 1

sieht mir also nach nem einfachen rechenfehler aus Smile
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)

BeitragVerfasst am: 15 Aug 2007 - 20:36:50    Titel:

f(0) = 0
f'(0) = 1
f(1) = 1
f'(1) = 0

Sorry - Tippfehler...
andrO
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Anmeldungsdatum: 26.11.2006
Beiträge: 49

BeitragVerfasst am: 15 Aug 2007 - 20:41:27    Titel:

okaydokay,

so dann gehts doch weiter mit:

d = 0
c = 1
-------------------------
a + b + 1 = 1 | -1
3a + 2b + 1 = 1

a + b = 0 | *2
3a + 2b = 0

a = 0
b = 0

so kann es nicht sein ... oder ?
p-a-t
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Anmeldungsdatum: 14.08.2007
Beiträge: 51

BeitragVerfasst am: 15 Aug 2007 - 20:44:51    Titel:

ich bin immernoch der meinung das c = 0 ist und 3a + 2b = 1
... habt ihr meinen post überlesen oder erscheine ich zu dumm um wahrgenommen zu werden?^^
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