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Ungleichungen und Vollständige Induktion
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BlackGull
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Anmeldungsdatum: 24.03.2005
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BeitragVerfasst am: 16 Aug 2007 - 11:30:32    Titel: Ungleichungen und Vollständige Induktion

Hallo,

kann mir jemand am Beispiel von 2^n>n^2, für n>4 zeigen, wie ich ungleichungen mit hilfe der Vollständigen Induktion beweise?

Nach Lösung wäre die Induktionsvorraussetzung 2^(n+1) > 2n^2
Ich verstehe nich wie ich darauf komme.

PS: lieber Mod, dies ist kein Hausaufgaben thread Smile - ich hab die lösung kann sie aber nich nachvollziehen

Danke im Vorraus
BG
brabe
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Anmeldungsdatum: 26.10.2005
Beiträge: 2807
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BeitragVerfasst am: 16 Aug 2007 - 11:40:18    Titel:

n->n+1 einsetzen
BlackGull
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Anmeldungsdatum: 24.03.2005
Beiträge: 124
Wohnort: Stuttgart

BeitragVerfasst am: 16 Aug 2007 - 11:45:33    Titel:

ja, auf der linken seite ersetzt ich n durch n+1,das is äquivalanet wenn ich ne summe und rechts ein ausdruck habe.

jedoch auf der rechten seite habe ich ja vorher n^2 und hinterher 2n^2, da hab ich dich nicht n durch n+1 ersetzt, oder?

weil (n+1)^2 != 2n^2


bg
brabe
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Anmeldungsdatum: 26.10.2005
Beiträge: 2807
Wohnort: Lehrerzimmer

BeitragVerfasst am: 16 Aug 2007 - 11:55:26    Titel:

IA: 2^n>n^2 gilt für n=5

(n+1)²=n²+2n+1<2^n +2n+1<2*2^n<2^(n+1)

Besser?
BlackGull
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Anmeldungsdatum: 24.03.2005
Beiträge: 124
Wohnort: Stuttgart

BeitragVerfasst am: 16 Aug 2007 - 12:17:29    Titel:

ah ok habs verstenden
thx
brabe
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Anmeldungsdatum: 26.10.2005
Beiträge: 2807
Wohnort: Lehrerzimmer

BeitragVerfasst am: 16 Aug 2007 - 12:19:22    Titel:

2n+1<2^n

die Abschätzung sollte für n>5 ja als trivial vorausgesetzt werden können
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8114
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 16 Aug 2007 - 12:24:30    Titel:

Vollständige Induktion bitte ganz formal durchführen, sonst verhaspelt man sich leicht:

1. Induktionsvoraussetzung
(Erstmal annehmen, daß das, was man zeigen will, für irgendein n gilt):

Es gelte 2^n>n^2 für irgendein n>0.

2. Induktionsschritt
(zeigen, daß es dann auch für die auf n folgende Zahl gilt):

Erstmal als Hilfssatz zeigen: Es gilt 2>(n+1)²/n² für alle n>3.
Denn es ist 2>5²/4²=1,5625, und die Folge der (n+1)²/n² ist streng monoton fallend.

Jetzt haben wir zwei Ungleichungen:
2^n>n^2 (Induktionsvoraussetzung)
2>(n+1)²/n² (Hilfssatz)
diese Ungleichungen können wir problemlos miteinander multiplizieren, weil sie links und rechts nur positive Werte annehmen, und erhalten:
2^(n+1)=(n+1)^2.

3. Induktionsanfang
(Bisher ist nur gezeigt: Wenn 2^n>n^2 für irgendein n>3 gilt, dann gilt es für alle weiteren. Aber wenn wir keinen Anfangswert für die ganze Kette finden, dann nützt uns diese Aussage gar nichts. Das ist so wie: "Wenn es eine Woche gibt, die acht Tage hat, dann haben das auch alle weiteren Wochen." Das mag richtig sein, aber die Acht-Wochen-Zeit beginnt eben nie. Und daher ist die Aussage, daß alle Wochen acht Tage haben, nicht richtig, auch wenn sich der Induktionsschritt beweisen läßt.)

2^5>5^2
Das ist das Entscheidende. Ab n=5 aufwärts gilt unsere Aussage für alle n.

Gruß, mike
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