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Kugelkondensator
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Foren-Übersicht -> Ingenieurwissenschaften -> Kugelkondensator
 
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ingu
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Anmeldungsdatum: 18.02.2006
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BeitragVerfasst am: 19 Aug 2007 - 10:51:52    Titel: Kugelkondensator

hallo,
ich hab hier folgende Aufgabe zu Kugelkondensatoren:

Gegeben ist ein Kugelkondensator mit dem Innenradius R1 und dem Außenradius R2. Das Dielektrikum ist quer geschichtet (also nicht radial) und soll die Werte ε1 und ε2 haben. Außerdem ist die Potentialdifferenz U bekannt.
Berechnen Sie das E- und D-Feld.

Code:

Gaußscher Satz (für die eine Halbkugel, analog für die Werte mit Index 2):
                             
    ∫D·dA = ∫∫∫ρ·dV = ∫∫σ·dA  (Ladung nur auf Oberfläche)
                             
   
    1    2            2
=>  -·4πr ·D(r) = 2π·R ·σ
    2                 1  1


             2
            R ·σ
             1  1
=>  D(r) = --------
              2
             r


             2
            R ·σ
             1  1
=>  E(r) = ---------     (ε  ist für die Halbkugel ja konstant)
                   2       r
           ε ·ε  ·r
            0  r1


um σ zu berechnen:

              2
             R ·σ
    R2        1  1    1    1
U = ∫ E·dr = ------ ( -- - -- )
    R1       ε ·ε     R    R
              0  r1    1    2

      ε ·ε  ·U
       0  r1
σ  = -----------
 1           R1
     R  (1 - --)
      1      R2


setzt man σ nun in D(r) und E(r) ein, erhält man nach Vereinfachung:

       R1·R2·U·ε0·εr
D(r) = -------------
        2
       r ·(R2 - R1)

         R1·R2·U
E(r) = ------------
        2
       r ·(R2 - R1)


soweit die Rechnung...
Vorausgesetzt, diese Rechnung wäre richtig (?), dann verstehe ich nicht, wie das D(r) von ε abhängen kann, während E(r) davon unabhängig ist. Das geht doch schon per Definition nicht...

Wäre sehr nett, wenn mir jmd. sagen könnte, wo der Denkfehler liegt.
isi1
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BeitragVerfasst am: 19 Aug 2007 - 15:27:01    Titel:

Ich verstehe schon diese Gleichung nicht
Code:

    1    2            2
=>  -·4πr ·D(r) = 2π·R ·σ      ..... σ in As/m² = Flächen-Ladungsdichte
    2                 1  1

den da D(R) = σ ist, stimmt doch das nachfolgende r nicht mehr, oder?

Natürlich ist klar, dass D(r)*r² = D(R)*R²

Edit Einheiten stimmen


Zuletzt bearbeitet von isi1 am 19 Aug 2007 - 16:26:38, insgesamt einmal bearbeitet
ingu
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Anmeldungsdatum: 18.02.2006
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BeitragVerfasst am: 19 Aug 2007 - 16:16:30    Titel:

ich hoffe, dass ich die Frage jetzt richtig verstanden habe...

Eigentlich ist ja das Hüllflächenintegral ∫D·dA = Q, aber Q alleine lässt sich aus den gegebenen Größen ohne σ nicht berechnen. Daher der Umweg über die Flächenladungsdichte σ, welche sich aus der Potentialdif. ergibt.
Dabei ist D ja über r nicht konstant (~ 1/r²), während man für die Berechnung von σ statt r gleich R1 ansetzen kann, da die Ladungen doch nur auf der inneren Kugel sind.

Oder fällt dir ad hoc eine andere Herangehensweise ein, die das Problem vlt. besser löst?


Bei welcher Gleichung passt die Einheit nicht?

für [E(r)] = [(R1²·σ1)/(ε0·εr·r²)] = · As/m² · Vm/(As) · 1/m² = V/m
für [σ1] = [ε0·εr·U/(R1·(1 - R1/R2))] = As/(Vm) · V · 1/m = As/m²

mit εr in F/m = As/(Vm)
isi1
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BeitragVerfasst am: 19 Aug 2007 - 16:35:33    Titel:

Zitat:
Vorausgesetzt, diese Rechnung wäre richtig (?), dann verstehe ich nicht, wie das D(r) von ε abhängen kann, während E(r) davon unabhängig ist. Das geht doch schon per Definition nicht...
Ja, die Rechnung ist richtig, soweit ich sehe, auch die Einheiten.
Wenn Du eine Funktion E = f(U) hast, ist klar, dass die Feldstärke nicht vom ε abhängt.
Und da D = ε * E ist D natürlich von ε abhängig.

Aber Du sprichst oben von Halbkugeln mit unterschiedlichen ε1 und ε2
Dabei ist E bei gegebenem U immer noch nicht von ε abhängig.
Allerdings kann U bei gegebenem σ von ε1 und ε2 abhängen.
ingu
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Anmeldungsdatum: 18.02.2006
Beiträge: 1003

BeitragVerfasst am: 19 Aug 2007 - 16:52:07    Titel:

achsooo, das hieße, wenn man theoretisch das Dielektrikum bei Q = const auswechseln würde, würde sich die Spannung proportional ε_alt/ε_neu ändern, sodass sich auch die Feldstärke E ändert,
aber da D ~ ε * U gilt, müsste D dann konstant bleiben.
isi1
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BeitragVerfasst am: 19 Aug 2007 - 16:55:10    Titel:

Ja, sehe ich auch so, ingu.
ingu
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Anmeldungsdatum: 18.02.2006
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BeitragVerfasst am: 19 Aug 2007 - 16:57:09    Titel:

vielen Dank, isi1! Very Happy
isi1
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Anmeldungsdatum: 10.08.2006
Beiträge: 7394
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BeitragVerfasst am: 19 Aug 2007 - 17:04:59    Titel:

Gerne diskutiert man mit dem Liebhaber von 'Tractatus Logico-Philosophicus'
rulix
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Anmeldungsdatum: 26.06.2007
Beiträge: 744

BeitragVerfasst am: 20 Aug 2007 - 16:46:23    Titel:

Was sich überhaupt sagen läßt, läßt sich klar sagen; und wovon man nicht reden kann, darüber muß man schweigen.
(Ludwig Wittgenstein)

Na immerhin lässt auch Wittgenstein zum Glück einen Weg offen.

Das was man nicht sagen kann, kann man zeigen!

"Rot" kann man z.B. zeigen, aber nicht mit Worten beschreiben.
ingu
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Anmeldungsdatum: 18.02.2006
Beiträge: 1003

BeitragVerfasst am: 21 Aug 2007 - 12:45:14    Titel:

Dein Einwand sieht auf den ersten Blick ganz folgerichtig aus. Bei genauerer Betrachtung stellt sich aber heraus, dass es kein Widerspruch zu Wittgensteins Tractatus ist, ganz im Gegenteil, lässt er (dein Einwand) sich leicht entkräften.

Nach L. W. ist der Satz ein Bild oder auch Modell der Wirklichkeit - genauso wie die "Hieroglyphenschrift Tatsachen beschreibt" oder auch die Naturwissenschaft Modellvorstellungen entwickelt, mit denen sie rechnen kann und das Ergebnis wieder auf die Realität übertragen kann und dieses - wenn das Modell wahr ist - mit der Realität, welche anders nicht ausgedrückt werden kann, übereinstimmt.
Alle Tatsachen ("die Welt ist die Gesamtheit der Tatsachen, nicht der Dinge" [Anmerkung: anders als bei Nietzsche]) lassen sich in Sätzen beschreiben. Dabei kann ein Satz nur sagen "wie ein Ding ist, nicht, was es ist". Aber wie es ist kann er immer sagen, auch z. B. bei einem roten Gegenstand.

Denn "der Mensch besitzt die Fähigkeit Sprachen zu bauen", welche natürlich auch "unsinnig" sein können.

Um an dieser Stelle konkret auf dein Beispiel zurückzukommen, so wäre es denkbar, ein Sprache zu konstruieren, welche für alle sichtbaren Rottöne ein Wort/Zeichen besitzt. Damit ist es möglich jeden roten Gegenstand zu beschreiben (WIE er ist).

Insofern ist man damit noch lange nicht in die Ebene vorgestoßen, in der es nicht mehr möglich ist, über etwas zu reden. Aber: "Zu einer Antwort, die man nicht aussprechen kann, kann man auch die Frage nicht aussprechen. Das Rätsel gibt es nicht. Wenn sich eine Frage überhaupt stellen lässt, so kann sie auch [sprachlich/theoretisch] beantwortet werden."

Jetzt hör ich aber lieber damit auf, sonst find ich garkein Ende mehr...
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