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Abbildunng + surjektiv und injektiv
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Abbildunng + surjektiv und injektiv
 
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sunshine_
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Anmeldungsdatum: 03.01.2005
Beiträge: 136

BeitragVerfasst am: 31 Jan 2005 - 16:42:06    Titel: Abbildunng + surjektiv und injektiv

Hi!

Folgende Aufgabenstellung:
Seif f: Q[x] -> Q[x], p -> p' die Abbildung, die jedem Polynom aus Q[x] seine algebraische (also nach den gewöhnlichen Regeln gebildete) Ableituung zuordent. Zeige:

1. f ist eine lineare Abbildung
2. f ist surjetiv, aber nicht injektiv
Warum ist das kein Widerspruch zur Dimensionsformel.

1. hab' ich
2. keine Ahnung wie ich das zeigen soll. Widerspruchsbeweis?

Danke für eure Hilfe?

Gruß
sunshine_
Mirona
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Anmeldungsdatum: 13.01.2005
Beiträge: 239

BeitragVerfasst am: 31 Jan 2005 - 17:19:56    Titel:

Hallo,

also zu Teil 2.

Man könnte ausnutzen, das {1,x,x^2,x^3,...} eine Basis des Vektorraumes ist.

Für die Surjektivität reicht es zu zeigen : Jeder Basisvektor besitzt ein "Urbild" (Nach Teil 1 ist die Abbildung f ja linear).

Für die Nicht-Injektivität halt zwei (verschiedene) Polynome mit gleichem Bild angeben.

Tja, und das mit der Dimensionsformel liegt an den ... in der obigen Basis.

MfG Mirona
sunshine_
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Anmeldungsdatum: 03.01.2005
Beiträge: 136

BeitragVerfasst am: 31 Jan 2005 - 17:27:16    Titel:

Hi!

meinst du das mit der Nicht-Injektivität wie folgt?

f(a_0+a_1*x +...+ a_n*x^n) = a_1 + ... + a_n*x^(n-1)

und

f(b_0+b_1*x +...+ b_n*x^n)= b_1 + ... + b_n*x^(n-1)

oder bei dem zweiten auch immer die Koeffs a?

Gruß
sunshine_
Mirona
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Anmeldungsdatum: 13.01.2005
Beiträge: 239

BeitragVerfasst am: 31 Jan 2005 - 17:33:47    Titel:

Hallo,

ich meinte damit 2 "konkrete" Polynome (die Koeffizienten sind also frei wählbare Zahlen) zu wählen, welche
a) verschieden sind
b) gleiche Bilder unter der Abbildung f haben.

MfG Mirona
Gast







BeitragVerfasst am: 31 Jan 2005 - 19:03:09    Titel:

Hi!

diese zwei z.b.?

f(3 + 2x +3*x^2) =2 + 6x
f(5 + 2x + 3*x^2) = 2 + 6x

die Koeffizienten vor den x müssen ja in der Regel gleich sein, oder?

Theoretisch muss ich es doch gar nicht mehr allgmein zeigen, dass die Injektivität schon für zwei nicht erfüllt ist. kann sie für das gesamte auch nicht erfüllt sein. (Logisch)

Gruß
sunshine_
sunshine_
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Anmeldungsdatum: 03.01.2005
Beiträge: 136

BeitragVerfasst am: 31 Jan 2005 - 19:04:13    Titel:

der letzte Beitrag stammt von mir
Mirona
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Anmeldungsdatum: 13.01.2005
Beiträge: 239

BeitragVerfasst am: 31 Jan 2005 - 19:09:58    Titel:

Yep, die Abbildung ist nicht-injektiv, da reicht ein "Beispiel" um dies zu begründen.

Und es reicht schon, konstante Polynome zu betrachten.

MfG Mirona
sunshine_
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Anmeldungsdatum: 03.01.2005
Beiträge: 136

BeitragVerfasst am: 31 Jan 2005 - 19:21:20    Titel:

Klar, konstante sind ja noch 'eleganter'

dank' dir!
Gast







BeitragVerfasst am: 31 Jan 2005 - 22:06:52    Titel:

Hi!

Versuche gerade die Surjektivität anhand deines Hinweises zu lösen.

nehme mal das Basiselement x^2 , das erhalte ich ja, wenn ich f auf 1/3 * x^3 anwende. Das heißt, das 1/3 x^3 das Urbild von x^2 ist, oder?

Und das mache ich mit den anderen analog.

Verstehe den nachschlag mit der linearen Abbildung und das mit der Dimensionsformel noch nicht so ganz.

Idee: Alles was in der Ableitung verschwindet landet ja im Kern, weil es auf Null abgebildet wird.

Kann ich hiermit weitermachen?

Gruß
sunshine_

P.S: Sorry, das ich noch einmal nachfragen muss
Mirona
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Anmeldungsdatum: 13.01.2005
Beiträge: 239

BeitragVerfasst am: 01 Feb 2005 - 14:41:58    Titel:

Hallo,

an sich ist die Surjektivität recht einfach.

Möglichkeit 1) explizit nachrechnen

man wählt ein Polynom p und gibt konkret ein gewisses Polynom P an und rechnet dann nach P'=p

dieses konkrete Polynom würde man halt explitzit hinschreiben (wie in der Analysis)

Möglichkeit 2) hier kommt etwas lineare Algebra ins Spiel

Für die Surjektivität ist es hinreichend zu zeigen: jedes Element einer festen Basis besitzt ein Urbild.

Denn :
ein beliebiger Vektor p des Zielraumes (also ein Polynom) ist bezüglich dieser Basis darstellbar und jeder Basisvektor besitzt ein Urbild,
bildet man nun das (genauer gesagt ein) formales Urbild und wendet dann darauf die Abbildung f an, so folgt weil f linear ist, das als Ergebniss p heraus kommt,
also ist jedes p des Zielraumes als Bild unter der Abbildung f darstellbar, also f surjektiv

Um nun Nachzuweisen das jedes x^j ein Urbild besitzt, eplizit nachrechnen (mit der Methode von dir).

Man spart im Vergleich zu Methode 1 etwas Schreibarbeit, muss dafür halt mehr "abstrakt" begründen.

MfG Mirona
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