Dualraum

sunshine_ · Full Member Anmeldungsdatum: 03.01.2005 Beiträge: 136

Hi!

Sei V = F_5[x]^(<-2) mit der Basis B = {1,1+x,1+x+x²}. Sei A = {1,x,x²} eine weitere Basis von V.

1. Gib die duale Bsis B' = [e_1', e_2',e_3'} von (F_5[x]^(<-2)) durch e_i(a_ j) für a_ j element A i,j =1,2,3 an.

Hm, hab gerade kein Plan wie ich das machen muss. Weiß wie eine duale Basis definiert ist, aber sobal da irgendwas in Koordinaten von oder so steht bin ich noch ein wenig aufgeschmissen.

Danke schon einmal für eure Hilfe.

Gruß
sunshine_

Mirona · Full Member Anmeldungsdatum: 13.01.2005 Beiträge: 239

Hallo,

wo genau gibt es denn Schwierigkeiten ?

MfG Mirona

sunshine_ · Full Member Anmeldungsdatum: 03.01.2005 Beiträge: 136

Hi!

ich nehme mir doch die Elemente der Basis A her und will diese als linerkombination der Basiselemente von B darstellen, oder?

Nehme ich das erste Element aus A -> 1

=> e_1(1)=1
e_2 (1) = 0
e_3 (1) = 0

nehme dann den zweiten vektor aus -> x

aber wie mache ich dann weiter?

e_1(x)= ?

Gruß
sunshine_

Mirona · Full Member Anmeldungsdatum: 13.01.2005 Beiträge: 239

Ja und nein,

ist bei dir eine Durchmischung zweier Sichtweisen, ich versuche mal dies etwas zu erläutern.

Es gibt die Möglichkeit, die Objekte des Dualraumes als lineare Funktionale (also lineare Abbildungen in den Grundkörper) zu identifizieren (wird wohl die Definition bei euch sein).

Für eine feste Basis B lassen sich diese dann darstellen,
zum Beispiel e_1 ( B ) = (1 0 0) ,
das heisst der erste Basisvektor vom Dualraum ist diejenige Abbildung, welche den ersten Basisvektor von B auf 1 abbildet und die restlichen auf 0 .

Nun kann man (wie es in der Aufgabe gefordert ist) auch jeden anderen Vektor in e_1 einsetzen und ausrechnen.

Wenn also zum Beispiel konkret der Wert von x unter der Abbildung e_1 bestimmt werden soll, so lässt sich x als Linearkombination von Elementen aus B schreiben, also x= (x+1)-1 und in dieser Darstellung dann e_1 anwenden, also e_1(x)=-1 .

So könnten nun alle Werte bestimmt werden.

Wenn man nun eine zweite Basis A wählt, dann könnte man die Basis vom Dualraum auch bezüglich dieser zweiten darstellen (die Darstellung bezüglich der ersten Basis ist ja nun gerade die Einheitsmatrix), dies wäre hier gerade die Matrix A.

Anstelle nun die 9 Einträge "von Hand" zu bestimmen, könnte man auch die Transformationsmatrizen des Basiswechsels zwischen A (der Basis) und B bestimmen und aus diesen dann direkt A (die Matrix ), also ohne die Einsetzen-Interpretation direkt über die Darstellungsmatrizen, bestimmen.

Um also die Aufgabe zu lösen bietet sich die von Hand Methode an ( den Basisvektoren von A und B sieht man ja ihren einfachen Zusammenhang an), um zu sehen wie die beiden Sichtweisen (also der Abstrakte und der Darstellende) zusammenpassen, könnte man auch den zweiten Weg einmal durchrechnen.

MfG Mirona

sunshine_ · Full Member Anmeldungsdatum: 03.01.2005 Beiträge: 136

Hm, theoretisch kann ich es nachvollziehen, wobei es an der Umsetztung scheitert.

Ich glaube, dass ich erstmal bei der von Hand Methode bleibe.
Bei der scheint der Groschen langsam zu fallen.

Danke für deine Ausführungen. Werde mich nach der Klausur mit der anderen Methode beschäftigen.