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Vektorraum von Folgen zu einem kompl. Hilbertraum machen
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Gast







BeitragVerfasst am: 31 Jan 2005 - 23:51:03    Titel: Vektorraum von Folgen zu einem kompl. Hilbertraum machen

Hallo,

Ich habe keine Ahnung wie ich diese Aufgabe bewältigen soll! Bitte helft mir!
Hier ist sie:

Sei F der Vektorraum der Folgen a : N -> C und gelte

l^2:= {a|a Element F, ∑|ak|^2 für k von 1 bis unendl. < unendl.}

Wir wollen zeigen, dass diese Menge zu einem komplexen Hilbertraum gemacht werden kann. Beweisen Sie:

1. Die Menge l^2 ist ein Teilraum des F
2. Für bel. a,b Element l^2 konvergiert (a,b):=∑ ak*bk für k von 1 bis unendl. absolut.
3. Die Abbildung (.,.) ist ein komplexes Skalarprodukt.

Ich hoffe ihr könnt mir hier helfen!

Ein großes Dankeschön schonmal im voraus!
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 01 Feb 2005 - 00:43:13    Titel:

Zu 1.: Dass es eine Teilmenge ist, ist erstmal klar; damit es ein Teilraum ist, muss man nachweisen, dass die Summe zweier l^2-Folgen wieder in l^2 liegt (=> Dreiecksungleichung!) und dass das Produkt mit einem komplexen Vielfachen wieder in l^2 liegt (trivial).
Zu 2.: Weiß ich auf Anhieb nicht, jedenfalls nicht wie man die Absolutkonvergenz zeigt. Konvergenz müsste aus 1. folgen, da die Summe über |a_k + b_k|^2 konvergiert-einfach Betragsquadrat ausmultiplizieren, dabei erhält man gerade diese Mischterme.
Zu 3.: Eigenschaften des Skalarprodukts nachrechnen; sollte auch recht einfach gehen.
Gast







BeitragVerfasst am: 01 Feb 2005 - 11:02:13    Titel:

Danke erstmal für deine Hinweise! mit 3. (Skalarprodukt) komme ich aber trotzdem noch nicht klar. Ich habe jetzt irgendwie schon 3 mal angefangen, komme aber auf keinen grünen Zweig! kannst du mir das vieleicht mal vorrechnen?
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