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lokale Extrema bei f(x,y)
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Jey
Gast






BeitragVerfasst am: 02 Feb 2005 - 02:02:44    Titel: lokale Extrema bei f(x,y)

Hallo!

Warum wird zur Überprüfung ob Min oder Max bei f(x,y) fxx (zweite partielle Ableitung, zweimal nach x differenziert) verwendet und nicht zum Beispiel fyy?

Danke!
Jockelx
Gast






BeitragVerfasst am: 02 Feb 2005 - 10:20:21    Titel:

Hey Jey!

Deine Behauptung stimmt doch gar nicht.
Zunächst schaut man, wo der Gradient (Vektor der part. Ableitungen
in alle Richtungen) Null wird.
Dann überprüft man die Hessenberg-Matrix (alle 2-ten Ableitungen
in alle Richtungen gemischt).

Jockel
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 02 Feb 2005 - 16:02:11    Titel:

Jockelx hat folgendes geschrieben:

Dann überprüft man die Hessenberg-Matrix (alle 2-ten Ableitungen
in alle Richtungen gemischt).

Du meinst wohl die Hesse-Matrix. Wink Hessenberg-Matrizen kommen irgendwie im Zusammenhang mit numerischen Lösungen linearer Gleichungssysteme vor (genau weiß ich es auch nicht mehr).
Jey
Gast






BeitragVerfasst am: 02 Feb 2005 - 22:59:07    Titel:

Danke für die schnelle Antwort. Aber was du beschrieben hast ist klar.

notwendige Bedingung: Vektor der 1. partiellen Ableitungen = Nullvektor

hinreichende Bedinung: Determinante der Hesse-Matrix > 0

Das ist aber dann nur die Feststellung, dass es eine EXTREMSTELLE ist. Aber nicht ob Min oder Max! Ich habe gelernt, dass dafür, die zweite partielle Ableitung zweimal nach x differenziert fxx verwendet wird:

fxx > 0 --> Minimum
fxx < 0 --> Maximum

Danke für die erneut schnelle Antwort! Smile
Jockelx
Gast






BeitragVerfasst am: 03 Feb 2005 - 13:12:43    Titel:

Ich kenne dein hinreichendes Kriterium leider so nicht.
Ich hab leider kein Buch hier, aber man kann an der Hess-Matrix
direkt ablesen, ob es Min, Max, Nichts oder Unbekannt ist.

Aber das dein Kriterium hinreichend ist stimmt wohl.
Dann ist aber auch klar, dass es genügt zweimal in eine Richtung
zu differenzieren. Wenn die Funktion insgesamt ein Maximum(Minimum)
hat, dann doch erst recht auch jede Komponente.
Du kannst also genauso gut fyy betrachten.

Jockel
algebrafreak
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 03 Feb 2005 - 15:52:27    Titel:

Zitat:
hinreichende Bedinung: Determinante der Hesse-Matrix > 0


f(x) = -x^2
f'(x) = -2x
f''(x) = -2 = "Hessematrix" von f

Da det(f''(x)) = -2 darf nach deinem Kriterium kein Extremum bei 0 sein, was natürlich falsch ist.

Die richtige Antwort, soweit mein Gedächnis reicht, ist: Existiert in einer Umgebung von x (H(f))(x), so liegt dort ein Extremum bei x vor, wenn

i) grad(f)(x) = 0 und
ii) det(H(f)(x)) <> 0

Ein Minimum ist es dann, wenn H(f)(x) positiv definit und Maximum wenn H(f)(x) negativ definit ist. Im oberen Fall wäre H(f)(x) negativ definit.
Jockelx
Gast






BeitragVerfasst am: 03 Feb 2005 - 15:58:49    Titel:

Wie er sagte und du zitiert hast, geht es um ein hinreichendes Kriterium,
also:

Determinante der Hesse-Matrix > 0 => Extremstelle liegt vor.

Dein Gegenbeispiel hat also nichts mit dem gesagten zu tun.

Jockel
algebrafreak
Senior Member
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 03 Feb 2005 - 18:50:57    Titel:

Man soll denken, bevor man was sagt, nicht wahr? Tut mir leid.

Ich versuche das nochmal:

f(x) = (-x_1^2 - x_2^2 + x_3^2);

f'(x) = (-2x_1,-2x_2,2x_3);

Betrachte H(f)(0) = A =
[-2,0,0]
[0,-2,0]
[0,0,2]

Die Matrix ist symmetrisch und indefinit mit det(A) (<)>0. Es handelt sich also um einen Sattelpunkt. Dein Kriterium scheint zu versagen:

det(A) > 0 = nicht => lokales Extremum
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