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Natürliche Exponentialfunktionen
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Ibanez
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Anmeldungsdatum: 01.09.2007
Beiträge: 64

BeitragVerfasst am: 02 Sep 2007 - 08:38:09    Titel: Natürliche Exponentialfunktionen

Hi! Hab mal wieder ne Frage. Hier folgende Aufgabe:

Bestimmen sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der natürlichen Exponentialfunktion an den Stellen x=-2 , x=-1, x=0, x=1, x=2.

Da hab ich noch keine Probleme.

Aber hier:

Begründen Sie, dass der Graph der Funktion stets oberhalb der Tangenten verläuft. (Hinweis: Betrachten Sie die Krümmung des Graphen der natürlichen Exponentialfunktion)

Hab keine Ahnung wie ich das begründen soll!
Danke schonmal!
foobar
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Anmeldungsdatum: 15.10.2006
Beiträge: 487

BeitragVerfasst am: 02 Sep 2007 - 09:42:59    Titel:

die krümmung gibt dir auskunft darüber ob der graph oberhalb oder unterhalb der tangente verläuft. (2. ableitung)
Ibanez
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Anmeldungsdatum: 01.09.2007
Beiträge: 64

BeitragVerfasst am: 02 Sep 2007 - 11:31:15    Titel:

Ich versteh nicht ganz. Soll ich die 2. Ableitung von f(x)=e^x bilden, was sowieso e^x ist und das ist die Begründung?
Wäre nett, wenn mir jemand eine vollständige Begründung schreiben könnte.
halg
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Anmeldungsdatum: 07.06.2005
Beiträge: 1007

BeitragVerfasst am: 02 Sep 2007 - 12:56:53    Titel:

Ibanez hat folgendes geschrieben:
Ich versteh nicht ganz. Soll ich die 2. Ableitung von f(x)=e^x bilden, was sowieso e^x ist und das ist die Begründung?

Ja, f"(x)=e^x und e^x ist immer positiv, und der Graph der Funktion ist deswegen immer nach oben gebogen, kann also keine seiner Tangenten schneiden.
Knalltüte
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Anmeldungsdatum: 31.08.2007
Beiträge: 2932
Wohnort: gleich um die Ecke

BeitragVerfasst am: 02 Sep 2007 - 13:03:22    Titel:

Kannst dich hier belesen http://de.wikipedia.org/wiki/Konvexe_Funktion
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)

BeitragVerfasst am: 02 Sep 2007 - 13:19:19    Titel:

halg hat folgendes geschrieben:
Ja, f"(x)=e^x und e^x ist immer positiv, und der Graph der Funktion ist deswegen immer nach oben gebogen, kann also keine seiner Tangenten schneiden.


Das wäre aber dann bei jeder Funktion der Form so:

f(x) = a^x [a>1]
f'(x) = (ln a) * a^x
f''(x) = (ln a)² * a^x
f''(x) > 0
foobar
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Anmeldungsdatum: 15.10.2006
Beiträge: 487

BeitragVerfasst am: 04 Sep 2007 - 20:14:11    Titel:

stimmt!
und was ist da problem?
zeichne dir diese funktionen mal und schau dir ihre krümmung an
Kölner_VWLer
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Anmeldungsdatum: 09.08.2007
Beiträge: 1618

BeitragVerfasst am: 04 Sep 2007 - 20:18:51    Titel:

e^x ist nunmal konvex über den gesamten definitionsbereich und konvexe funktionen haben es nun mal an sich, dass die tangente an jedem punkt unterhalb des funktionsgraphen verläuft..

Mathematisch wäre das bewiesen, da, wenn f(x)=e^x ist -->f''(x)=e^x >0 für alle x.
Ibanez
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Anmeldungsdatum: 01.09.2007
Beiträge: 64

BeitragVerfasst am: 04 Sep 2007 - 20:49:46    Titel:

Ja danke!
Somit hat sich das auch geklärt.
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