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Differenzieren, skalare Funktion mit Mittelwertsatz
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Gast







BeitragVerfasst am: 02 Feb 2005 - 20:06:30    Titel: Differenzieren, skalare Funktion mit Mittelwertsatz

Hallo zusammen,

folgende Aufgabe fand ich auf meinem Analysis-Übungsblatt:

Zeigen Sie: Ist f : [a,b] -> R^m differenzierbar, so existiert ein z in (a,b) mit
|| f(b) - f(a) || =< || f'(z)|| * |b-a|.
Wenden Sie dazu die skalare Funktion p(t) = < f(b) - f(a), f(t)> den Mittelwertsatz an.

Dieser Aufgabe stehe ich doch etwas ratlos gegenüber. Erinnert mich || f(b) - f(a) || =< || f'(z)|| * |b-a| ja noch an die Lipschitzstetigkeit, so hört es dann bei der skalaren Funktion auf. Was soll f(t)?


Für Denkanstöße wäre ich mehr als dankbar,


Georg
Mirona
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Anmeldungsdatum: 13.01.2005
Beiträge: 239

BeitragVerfasst am: 02 Feb 2005 - 20:37:14    Titel:

Hallo,

weiss grad nicht, wo genau du ratlos bist.

Gibt ja in der Aufgabe einen Denkanstoss.
Was bringt der denn ?

MfG Mirona
Gast







BeitragVerfasst am: 02 Feb 2005 - 20:55:45    Titel:

Hallo Mirona,

der Denkanstoß soll ja sein:
Wenden Sie dazu die skalare Funktion p(t) = < f(b) - f(a), f(t)> den Mittelwertsatz an.

aber mir sagt schon die Funktion nicht, f(b) - f(a) ist der Abstand der Y-Werte von den Rändern des Intervalls, aber was heißt p(t) = < f(b-) - f(a), f(t)>, was macht das f(t) dort?


Georg
Mirona
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Anmeldungsdatum: 13.01.2005
Beiträge: 239

BeitragVerfasst am: 02 Feb 2005 - 21:03:59    Titel:

Hallo George,

ich habe das so gelesen, das <x,y> das Skalarprodukt von den Vektoren x und y ist.

p(t) also das Skalarprodukt eines konstanten Vektors und f(t) ist.

f(b)-f(a) ist ein Vektor und hat nicht unbedingt eine Absatandsbedeutung. (noch nicht, erst bei der Norm)

MfG Mirona
Gast







BeitragVerfasst am: 03 Feb 2005 - 11:35:35    Titel:

Hallo Mirona,

aber bei einer Funktion p(t) erwarte ich doch irgendwas als Resultat, was ist das den in diesem Fall? Ein Vektor? Und was besagt der Mittelwertsatz?


Gruß,

Georg
Mirona
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Anmeldungsdatum: 13.01.2005
Beiträge: 239

BeitragVerfasst am: 03 Feb 2005 - 13:52:05    Titel:

Hallo George,

bei p(t) kommt eine Zahl als Ergebnis heraus, p(t) ist eine skalare Funktion,
denn für t zwischen a und b ist f(t) ein Vektor und <f(b)-f(a),f(t)> eine Zahl.

Und was "den" Mittelwertsatz angeht (gibt eine ganze Reihe von Sätzen mit diesem Namen) :
für eine skalare reelle Funktion p(t), welche stetig auf [a,b] und differenzierbar auf (a,b) ist, gilt p(b)-p(a) = p'(z)*(b-a) für ein z aus (a,b).

Also diese Beziehung nehmen (sich überlegen,warum die Voraussetzungen erfüllt sind), p(t) einsetzen und weitermachen (hiermit meine ich Eigenschaften des Skalarproduktes auszunutzen usw. )

MfG Mirona
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