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wie berechnet man die Normalenform einer Ebene ?
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Ranger23
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Anmeldungsdatum: 27.01.2005
Beiträge: 102
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BeitragVerfasst am: 03 Feb 2005 - 22:17:12    Titel: wie berechnet man die Normalenform einer Ebene ?

Hab mal ne Frage, wie ich die Normalenform einer Ebene berechne. Ich weiß, dass ich dafür den Normalenvektor n brauch, der senkrecht auf der Ebene steht. Den bilde ich ja durch das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren. Nur wie weiter? Ich hab auch noch irgendwas mit dem Abstand d vom Nullpunkt im Kopf, aber so richtig anwenen kann ich das nicht.

Achja kann mir dann jemand noch vielleicht sagen, was die Hessesche Normalform is und wie ich sie bilde?

und noch was:

wie komme ich von der Normalenform wieder auf die Parameterform???


danke für schnelle Antworten

R@nger23
Gast







BeitragVerfasst am: 03 Feb 2005 - 23:00:20    Titel:

hess'sche normalenform (benötigt, um abstände zu berechnen)

E: (x - a) * n = 0 x, a, n sind vektoren (weißt ja welche bedeutung)

n = Normalenvektor : Betrag von Normalenvektor

dann brauchste die formel: (abstandsformel)

d = d(P,E) = I (p-a) * n I

abstand haste ja von deinem punkt, also einsetzen und nach a umstellen und schon haste den ortsvektor deiner ebene

hoffe, das hilft dir (normalenform --> parameterform geht über das skalarprodukt, a als stützvektor kannste ja übernehmen)
Gast







BeitragVerfasst am: 03 Feb 2005 - 23:32:00    Titel:

für die Normalvektorform der Ebene braucht man:

einen Punkt, der auf der Ebene drauf liegt und den Normalvektor der Ebene (= Kreuzprodukt zweier Richtungsvektoren der Ebene)
und dann setzt in folgende Formel ein:

Normalvektor * X = Normalvektor * Punkt

X = ein beliebiger Punkt, der auf der Ebene drauf liegt und hat die Koordinaten (x, y, z)

z.b.
Normalvektor = (2/1/-3) Punkt = (4/4/1)

(2/1/-3) * (x/y/z) = (2/1/-3) * (4/4/1)
2x + y - 3z = 8 + 4 - 3
E: 2x + y - 3z = 9

Wenn du nun den Abstand von einem Punkt zu dieser Ebene berechnen willst, musst in die Hesse'sche Normalvektorform einsetzen und das geht so:

d = Bruchstrich machen - im Zähler steht die Ebenengleichung und im Nenner steht der Betrag des Normalvektors der Ebene

d = [ 2x + y - 3z -9 ] / sqrt(2² + 1² + (-3)²)

und für x, y und z setzt die Koordinaten deines Abstandspunktes ein.
Falls insgesamt eine Minuszahl rauskommt, musst Betragsstriche machen, damit die plus wird, weil es ja keine Minusabstände gibt:

z.b. Abstandspunkt = (-1 / -2/ -1)

d = | [ -2 -2 + 3 - 9 ] / sqrt(14) |

d = | -10/sqrt(14) |
d = 10/sqrt(14)

Wenn du aus der Normalvektorform wieder die Parameterform machen willst, dann funktioniert das so:

Die Ebenengleichung ist ja dazu da, dass du dir jeden beliebigen Punkt, der auf der Ebene drauf ist, berechnen kannst. Dazu setzt für x und y Zahlen deiner Wahl in die Ebenengleichung ein und die Ebenengleichung ist dann dazu verpflichtet, dir das dazugehörige z zu sagen, sodass der Punkt auf der Ebene drauf liegt.
Nun berechnest einfach 3 Punkte deiner Ebene, machst aus diesen 3 Punkten 2 unterschiedliche Richtungsvektoren ( VektorPQ und Vektor PR)
und kannst dann einsetzen in die Parameterform, die da lautet:

X = Punkt der Ebene + u * 1. Richtungsvektor + v * 2. Richtungsvektor

lg katja
Ranger23
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Anmeldungsdatum: 27.01.2005
Beiträge: 102
Wohnort: Dortmund

BeitragVerfasst am: 04 Feb 2005 - 01:34:38    Titel:

danke für die Antworten hab's endlich kapiert

thx R@nger23
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