Funktion dritten Grades

Conny1990 · Senior Member Anmeldungsdatum: 04.06.2006 Beiträge: 671

Wie kann man prinzipiell eine Funktion 3. Grades modellieren?
Ansatz : f(x) = ax^3+bx^2+cx+d liefert wohl keine Erkenntnisse.

Der Funktionsgraph schneidet die x-Achse im negativen Bereich und berührt die x-Achse im positiven Bereich.

Wie lautet der Funktionsterm dann, wenn er nicht f(x) = ax^3+bx^2+cx+d ist?

M_Hammer_Kruse · Verfasst am: 11 Sep 2007 - 19:40:09 Titel:

Hallo Conny,

natürlich läßt sich solche Funktion durch y=ax³+bx²+cx+d beschreiben. Aber dann mußt Du noch ein wenig mehr über a, b, c und d sagen, damit der Graph die Eigenschaften hat, die gefordert sind.

Aber diese Forderungen sagen etwas über Punkte, welche die Kurve mit der x-Achse gemeinsam hat. Die nennt man doch gemeinhin "Nullstellen". Eine soll negativ sein und bei einer anderen soll der Graph die x-Achse berühren und nicht schneiden.

Und wenn es jetzt noch nicht klingelt, erstmal ein paar leichtere Aufgaben:
a) Wie lautet die Gleichung einer Parabel, welche die Nullstellen -1 und +3 hat?
b) Wie lautet die Gleichung einer Parabel, welche die x-Achse bei x=2 berührt?

Gruß, mike

Annihilator · Verfasst am: 11 Sep 2007 - 19:40:36 Titel:

Was meinst du mit Modellieren ? Geht es um eine "Steckbriefaufgabe" ?

Conny1990 · Senior Member Anmeldungsdatum: 04.06.2006 Beiträge: 671

y=3x^2-5*x^2+2 ----> wenn ich für x --->1 einsetze erhalte ich eine Nullstelle

und wenn ich einen Wert zwischen - 0,6 und -0.5 einsetzte erhalte ich die zweite nullstelle.

Winni · Senior Member Anmeldungsdatum: 04.08.2005 Beiträge: 3612

Hallo!

"Der Funktionsgraph schneidet die x-Achse im negativen Bereich
und berührt die x-Achse im positiven Bereich."

liefert die Bedingungen
f(u)=0 mit u<0
f(v)=0 mit v>0
f'(v)=0
ggfs. f''(v)<>0 , da f'(v)=0 nicht ausreichend ist

f(x) = ax³+bx²+cx+d
f(u) = 0 : au³+bu²+cu+d = 0
f(v) = 0 : av³+bv²+cv+d = 0
f'(v) = 0 : 3av²+2bv+c = 0
f''(v)<>0 : 6av+2b <> 0 bzw. b <> -3av

=> c = -3av²-2bv
=> d = -av³-bv²-(-3av²-2bv)v = 2av³+bv²
=> au³+bu²+(-3av²-2bv)u+(2av³+bv²) = 0
d.h. a(u³-3v²u+2v³)+b(u²-2vu+v²) = 0
=> (u-v)²(a(u+2v)+b) = 0

Da u<>v ist, kann nur a(u+2v)+b = 0 sein.

Somit
b = -a(u+2v) ; [Anmerkung: Wegen u<>v ist b<>-3av und somit f''(v)<>0 .]
=> c = -3av²-2(-a(u+2v))v = a(v²+2uv)
=> d = 2av³+(-a(u+2v))v² = -auv²

Was nun gegeben ist und wonach aufgelöst werden soll, fehlt in den Angaben.

MadJack · Full Member Anmeldungsdatum: 13.04.2006 Beiträge: 151

hmmm bei konkreten Werten kannst du das Lagrangesche Interpolationssystem verwenden und so die Funktionskoeffizienten berechnen.

Conny1990 · Senior Member Anmeldungsdatum: 04.06.2006 Beiträge: 671

es sind aber keine Werte angegeben.

M_Hammer_Kruse · Verfasst am: 11 Sep 2007 - 21:26:48 Titel:

Hallo Conny,

dann nimm doch einfach Werte an: Schnitt bei -u, Berührung bei +v.

Aber ich empfehle Dir, beantworte zuerst meine obigen "Zusatzaufgaben". Dann wird Dir klar, wie Du von dem u und dem v zur Funktionsgleichung kommst.

Gruß, mike

Conny1990 · Senior Member Anmeldungsdatum: 04.06.2006 Beiträge: 671

b) Wie lautet die Gleichung einer Parabel, welche die x-Achse bei x=2 berührt?

f(x) = (x-2)^2

M_Hammer_Kruse · Verfasst am: 11 Sep 2007 - 21:36:57 Titel:

genau (d. h. eigentlich y=k*(x-2)² mit beliebigem k), und bei a?

Conny1990 · Senior Member Anmeldungsdatum: 04.06.2006 Beiträge: 671

Wie geht die a? Kleiner Tipp reicht mir vielleicht.

M_Hammer_Kruse · Verfasst am: 11 Sep 2007 - 21:53:54 Titel:

Kleiner Tipp: Vietascher Wurzelsatz.

Gruß, mike

Conny1990 · Senior Member Anmeldungsdatum: 04.06.2006 Beiträge: 671

also für x= -1 ----> (x+1)^2

und x=3 -----> (x-3)^2

M_Hammer_Kruse · Verfasst am: 11 Sep 2007 - 22:02:04 Titel:

Nein, es geht um eine Parabel, welche gleich beide Nullstellen hat. Was Du angibst sind zwei Parabeln, von denen die eine den Scheitel bei -1 und die andere bei +3 hat.

Gruß, mike

Conny1990 · Senior Member Anmeldungsdatum: 04.06.2006 Beiträge: 671

Ja, wie geht das? Ich komm da wirklich nicht drauf...

M_Hammer_Kruse · Verfasst am: 11 Sep 2007 - 22:09:43 Titel:

Den Tip habe ich doch schon gegeben. Lies Dir mal durch, was da zum Wurzelsatz steht. Letztlich bedeutet das, daß Du - bis auf einen konstanten Faktor - die Funktionsgleichung hinschreiben kannst, wenn Du die Nullstellen (="Wurzeln") kennst.

Gruß, mike