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Nullstelle
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picard9
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Anmeldungsdatum: 29.01.2005
Beiträge: 184

BeitragVerfasst am: 05 Feb 2005 - 21:03:06    Titel: Nullstelle

Ich habe ziemlich lange an dieser Aufgabe gesessen und komme einfach nicht drauf.
Bitte helft mir.

Wie kommt man auf die Nullstelle von 1/3 (x^4-4x^3+27)

Die Nullstelle lautet angeblich 3, aber ich weiß nicht, wie man drauf kommt.

Ich habs mit dem Horner Schema schon versucht, aber das klappt nicht.
Gast







BeitragVerfasst am: 05 Feb 2005 - 22:15:20    Titel:

Deine Funktion lautet:

f(x) = 1/3 * (x^4 - 4x³ + 27)

Du suchst die Nullstellen. Nullstellen sind die Schnittpunkte der Kurve mit der x-Achse.
Weil jeder Punkt auf der x-Achse als y-Koordinate 0 hat, und weil f(x) = y
setzt du nun für f(x) 0 ein.

1/3 * (x^4 -4x³ + 27) = 0

Zuerst einmal die Gleichung * 3
x^4 -4x³ + 27 = 0

Wenn in der Gleichung eine Zahl dabei steht, dann muss man Lösung suchen gehen.
Das heißt, du musst für x solange Zahlen einsetzen, bis du eine findest, sodass 0 = 0 rauskommt. Und man weiß über die Lösung, dass sie ein Teiler der Zahl sein muss. Das heißt...für x brauchst niemals z.b. 4 einsetzen, weil 4 in 27 nicht ganz enthalten ist.

x = 3 >>
3^4 - 4 * ^3³ + 27 = 0
81 - 108 + 27 = 0
0 = 0 >> wahre Aussage...
das heißt, man weiß nun, dass x = 3 eine Nullstelle ist.

Um die nächsten Nullstellen zu finden, denn eine Gleichung 4. Grades kann höchstens 4 Nullstellen haben, musst du die Gleichung durch (x - gefundener Lösung) durchdividieren.
Oder Hornerschema anwenden......wie du willst.

x^4 - 4x³ + 27 : ( x - 3) =

Und nun Polynomdivision machen...

lg katja
Also einfach ausprobieren...
Andromeda
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 06 Feb 2005 - 14:39:37    Titel:

Katja hat folgendes geschrieben:


1/3 * (x^4 -4x³ + 27) = 0

Zuerst einmal die Gleichung * 3
x^4 -4x³ + 27 = 0

Wenn in der Gleichung eine Zahl dabei steht, dann muss man Lösung suchen gehen.
Das heißt, du musst für x solange Zahlen einsetzen, bis du eine findest, sodass 0 = 0 rauskommt.


Das ist nicht richtig.

Es gibt eine exakte Formel zur Berechnung der Nullstelle. Man nennt es auch die Formel von Ferrari. Sie ist einfach aber langwierig, bringt aber die exakte Lösung.

Da ich zu faul bin, das alles von Hand auszurechnen und vor allem zu schreiben, habe ich diese Formel im Internet gesucht, glaube algebrafreak (falls es jemand anders war, bitte um Entschuldigung) hat diese Seite mal aufgebracht, wobei es aber noch andere Seiten mit dieser Berechnung gibt.


http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm

Hier ist die Berechnung nach Ferrari

Lösen der biquadratischen Gleichung x^4 - 4x³ + 27 = 0

———————————————————————————————————

Die Gleichung liegt bereits in der Normalform x^4 + ax³ + bx² + cx + d = 0 vor.

Durch die Substitution x = y - a/4 wird die Gleichung in die Form
x^4 + px² + qy + r = 0 gebracht, die kein kubisches Glied mehr aufweist.

(y + 1)^4 - 4(y + 1)³ + 27 = 0

Statt auszumultiplizieren, kann man die neuen Koeffizienten auch direkt berechnen:

p = b - 3a²/8 = -6
q = a³/8-ab/2+c = -8
r = -(3a^4 - 16a²b + 64ac - 256d)/256 = 24

y^4 - 6y² - 8y + 24 = 0

Diese Gleichung kann über ihre kubische Resolvente z³ - 2pz² + (p²-4r)z + q² = 0
gelöst werden.

z³ + 12z² - 60z + 64 = 0

Man benötigt also zunächst die Lösungen dieser Gleichung.

————————————————————————————————


Lösen der kubischen Gleichung x³ + 12x² - 60x + 64 = 0
———————————————————————————————————————

Die kubische Gleichung liegt bereits in der Normalform x³ + rx² + sx + t = 0 vor.

Durch die Substitution x = y - r/3 wird die Gleichung in eine reduzierte Form
y³ + py + q = 0 gebracht, in der kein quadratisches Glied mehr auftritt.

(y - 4)³ + 12(y - 4)² - 60(y - 4) + 64 = 0

Die neuen Koeffizienten können bequemer auch direkt berechnet werden:

p = s - r²/3 = -108
q = 2r³/27 - rs/3 + t = 432

y³ - 108y + 432 = 0

Aus der Gleichung liest man also ab:

p = -108 q = 432

Nun muß der Wert R = (q/2)²+(p/3)³ betrachtet werden.

Ist R > 0, so hat die kubische Gleichung eine reelle und zwei komplexe Lösungen,
ist R = 0, hat sie drei reelle Lösungen, von denen zwei zusammenfallen,
und im Falle R < 0 drei verschiedene reelle Lösungen.

Für die ersten beiden Fälle verwendet man die Lösungsformel von Cardano/Tartaglia,
im dritten Fall, dem sogenannten "casus irreducibilis", löst man mithilfe
trigonometrischer Funktionen.

Im Falle dieser Gleichung ist R = 0.

Da R nicht negativ ist, kann die Gleichung mit der Cardanischen Formel gelöst werden:


T = sqr((q/2)²+(p/3)³) = sqr(R) = 0

u = kubikwurzel(-q/2 + T) = -5,999999999999999

v = kubikwurzel(-q/2 - T) = -5,999999999999999

y = u + v = -12
1
y = -(u + v)/2 - ((u - v)/2)*sqr(3)·î = 5,999999999999999
2
y = -(u + v)/2 + ((u - v)/2)*sqr(3)·î = 5,999999999999999
3

Die Substitution x = y - r/3 wird durch Subtraktion von r/3 rückgängig gemacht.
r=12 ist der quadratische Koeffizient der kubischen Gleichung.
Damit ergeben sich, der Größe nach geordnet, diese Lösungen:

x = -16
1
x = 2
2
x = 2
3

—————————————————————————————————————

Zurück zur Lösung der biquadratischen Gleichung.

Das Lösungsverfahren für kubische Gleichungen ergab also für das z der
kubischen Resolvente:

z = -16
1
z = 2
2
z = 2
3

Nach dem Satz von Vieta muß das Produkt der drei Lösungen gleich dem linearen Glied
der Gleichung sein, hier also q² = 64.
Die Lösungen für y ergeben sich nun folgendermaßen:

y = ( sqr(-z ) + sqr(-z ) + sqr(-z ) ) / 2
1 1 2 3
y = ( sqr(-z ) - sqr(-z ) - sqr(-z ) ) / 2
2 1 2 3
y = (-sqr(-z ) + sqr(-z ) - sqr(-z ) ) / 2
3 1 2 3
y = (-sqr(-z ) - sqr(-z ) + sqr(-z ) ) / 2
4 1 2 3

wobei jedoch die Wahl der Vorzeichen der Wurzeln so getroffen werden muß, daß deren
Produkt gleich -q = 8 ist.

Die Wurzeln

sqr(16) = -4
sqr(-2) = -1,4142135623730951·î
sqr(-2) = -1,4142135623730951·î

erfüllen diese Bedingung.

Damit ergeben sich folgende Werte für y

y = -2 - 1,4142135623730951·î
1
y = -2 + 1,4142135623730951·î
2
y = 2
3
y = 2
4

und nach Subtraktion von a/4 ( = -1 ) die Lösungen der gegebenen
biquadratischen Gleichung:

x = -1 - 1,4142135623730951·î
1
x = -1 + 1,4142135623730951·î
2
x = 3
3
x = 3
4


-----------------------------------------------------------------

Man sieht, dass die einzige reelle Nullstelle eine doppelte Nullstelle ist.


Gruß
Andromeda
Urmel
Junior Member
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Junior Member


Anmeldungsdatum: 02.10.2004
Beiträge: 88

BeitragVerfasst am: 06 Feb 2005 - 17:57:00    Titel:

Anm. d. Mod: hier stand der komplette vorgängebeitrag zitiert. Aus Gründen der Lesbarkeit entfernt.

Oh mein Gott ^^
Gast







BeitragVerfasst am: 06 Feb 2005 - 18:17:36    Titel:

Glaub nicht, dass irgendwer diese Methode in der Schule bei einer Klausur anwendet. Ich kenn auch keinen Lehrer, der den Schülern diese Methode beibringt.
Und ich denke, mit Näherungsverfahren kann man die fehlenden Nullstellen, wenn sie sich in unendlichen Kommazahlen verlieren, in R und C in der gleichen Zeit bestimmen.
Daher muss ein Schüler, solang sein Lehrer diese Formel nicht erklärt, eine Lösung suchen gehen, wenn in der Gleichung eine Zahl enthalten ist.

katja
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 06 Feb 2005 - 18:56:35    Titel:

Wenn man das mit Probieren macht und die Nullstelle X0 = 3 gefunden hat, dann braucht man aber auch nicht nach weiteren Nullstellen suchen. Es ist offensichtlich, dass es sich um eine doppelte Nullstelle handelt und dass auf Grund des Monotonieverhaltens der Funktion keine weitere Nullstelle in R existieren kann.

Gruß
Andromeda
Gast







BeitragVerfasst am: 06 Feb 2005 - 19:23:43    Titel:

Für die meisten Schüler ist das aber leider nicht offensichtlich.

lg katja
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