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Umkehrfunktion mit Wurzel
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otter
Gast






BeitragVerfasst am: 05 Feb 2005 - 23:45:04    Titel: Umkehrfunktion mit Wurzel

Ich suche die Umkehrfunktion von y = (1/3)x + 3 - Wurzel(x+4)

Ich kann ich kann sie nicht nach x auflösen.
Gibt es keinenanderen Weg?
Gast







BeitragVerfasst am: 06 Feb 2005 - 00:12:07    Titel:

Wozu brauchst du die Umkehrfunktion? Poste doch mal die ganze Angabe.
Soweit ich seh, gibts davon nämlich keine....zumindest dann nur abschnittweise.
otter
Gast






BeitragVerfasst am: 06 Feb 2005 - 00:28:20    Titel:

Die gabze Aufgabe lautet:
Weise nach, dass die Funktion g(x) = (1/3)x + 3 - Wurzel(x+4) für x>-7/4 eine Umkehrfunktion g_ besitzt. Berechne die Ableitung von g_ im Punkt x=3
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 06 Feb 2005 - 02:08:19    Titel:

otter hat folgendes geschrieben:
Die gabze Aufgabe lautet:
Weise nach, dass die Funktion g(x) = (1/3)x + 3 - Wurzel(x+4) für x>-7/4 eine Umkehrfunktion g_ besitzt. Berechne die Ableitung von g_ im Punkt x=3


Jetzt sieht die Sache anders aus!

Du musst ja nur nachweisen, dass es eine gibt und die Steigung in einem Punkt angeben.

Es gibt eine Umkehrfunktion, da für x > -7/4 die Funktion stetig und streng monoton steigend ist.

Die Steigung kannst Du dann aus der Ursprungsfunktion berechnen, da die Umkehrfunktion gleich der Spiegelung der Ursprungsfunktion an der 1. Winkelhalbierenden ist. Du musst nur beachten, dass x = 3 der Umkehrfunktion dem y = 3 der Ursprungsfunktion entspricht. Hierfür muss Du also den x-Wert zuerst bestimmen.

3 = 1/3 x + 3 - √(x+4) =>
0 = 1/3 x - √(x+4) =>
1/3 x = √(x+4) =>
1/9 x² = x + 4 =>
1/9 x² - x - 4 = 0

Dies ist eine quadratische Gleichung, aus der Du x berechnen kannst. Diesen Wert setzt Du in die Ableitung ein und hast dann die Steigung m der Ursprungsfunktion. Die an der 1. Winkelhalbierende gespiegelte Steigung ist dann 1/m.

Gruß
Andromeda
otter
Gast






BeitragVerfasst am: 07 Feb 2005 - 15:39:53    Titel:

Ich hab die Gleichung nach x mit der pq-Formel aufgelöst und erhalte dann 2 Werte für x. x1= -3 und x2=12
Wenn ich diese jetzt in die Ableitung der Ursprungsfunktion einsetze bekomme ich g´(-3)=0 und g´(12)=5/24 Ich hoffe, das war soweit richtig.
Mein Ergebnis müsste dann also g_´(3)=24/5 lauten, oder?

Hab ich das richtig verstanden?
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 07 Feb 2005 - 19:21:46    Titel:

otter hat folgendes geschrieben:
Ich hab die Gleichung nach x mit der pq-Formel aufgelöst und erhalte dann 2 Werte für x. x1= -3 und x2=12
Wenn ich diese jetzt in die Ableitung der Ursprungsfunktion einsetze bekomme ich g´(-3)=0 und g´(12)=5/24 Ich hoffe, das war soweit richtig.
Mein Ergebnis müsste dann also g_´(3)=24/5 lauten, oder?

Hab ich das richtig verstanden?


Ja, soweit ich das an der Grafik ablesen kann. stimmt das Ergebnis.

Nur den Wert x1 = -3 muss du vergessen, da die Umkehrfunktion erst ab x = -7/4 existiert. Das steht auch in der Aufgabe. Also g_'(3) = 24/5 ist okay.

Gruß
Andromeda
Otter
Gast






BeitragVerfasst am: 07 Feb 2005 - 19:22:55    Titel:

Vielen Vielen Dank
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