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Lösungsmengen von komplexen Gleichungen
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Korgo
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Anmeldungsdatum: 07.02.2005
Beiträge: 8

BeitragVerfasst am: 07 Feb 2005 - 17:21:16    Titel: Lösungsmengen von komplexen Gleichungen

Hallo zusammen,

ich brauche Hilfe bei ein paar Aufgaben.

Aufgabenstellung:
Wie lautet jeweils zu der angegebenen Gleichung die Lösungsmenge für z Element C?

1. Aufgabe:
(z-1)/(z-2) = (1+j)/(2-j)

Mein Ansatz bisher: (Ist ja nicht so, dass ich noch nix versucht hätte. :o) )

(z-1)/(z-2) = (1+j)/(2-j)
<=> (z-1)(2-j) = (1+j)(z-2)
<=> 2z -jz -2 +j = z -2 +jz -2j
<=> z +j = 2jz -2j
<=> z +j = 2j(z-1)
<=> (z+j)/(2j) = z -1
<=> -1/2j (z +j) = z -1
<=> -1/2zj -1/2j^2 = z -1
<=> -1/2zj +1/2 = z -1
<=> -1/2zj -z = -3/2
<=> z (-1/2j -1) = -3/2
<=> z = (-3/2)/(-1/2j -1)

Laut Übungszettel soll die Lösung aber 6/5 -3/5j sein.
Wo ist mein Fehler? Oder fehlt noch ein Schritt, den ich nicht sehe?

2. Aufgabe:

1 / (z +1) = 3 -j
Bei dieser Aufgabe komme ich auf zwei verschiedene Lösungen, aber ich finde den Fehler nicht. Zusätzlich ist keine der beiden Lösungen die "gewünschte" Lösung laut Übungszettel. *seufz*

1. Ansatz:
1 /(z +1) = 3 -j
<=> z +1 = 1 / (3 -j)
<=> z = (1 / (3 -j)) -1
<=> z = 1 /(3 -j) - (3 -j)/(3 -j)
<=> z = (1 -3 -j)/(3 -j)
<=> z = (-2 -j)/(3 -j)

1. Ansatz:
1 /(z +1) = 3 -j
<=> 1 = (3 -j)(z +1)
<=> 1 = 3z +3 -jz -j
<=> 3z +3 -jz -j = 1 -3 +j
<=> z (3 -j) = -2 +j
<=> z = (-2 +j)/(3 -j)

Die beiden Ergebnisse sind bis auf das Vorzeichen des Imaginärteils des Zählers identisch.
Auch hier frage ich mich wieder wo mein Fehler liegt.

Lösung laut Übungszettel ist: -7/10 + 1/10j


Und weil es so schön ist gleich die nächste Aufgabe.

3. Aufgabe:
1 /(z -j) - 1 /(z -1) = 1 +j

Mein Ansatz:
1 /(z -j) - 1 / (z -1) = 1 +j
<=> (z -1)-(z -j) / (z -j)(z -1) = 1 +j
<=> (z -1 -z +j)/(z -j)(z -1) = 1 +j
<=> -1 +j = (1 +j)(z^2 -z -jz +j)
<=> -1 +j = z^2 -z -jz +j +jz^2 -jz -j^2z +j^2
<=> -1 +j = z^2 -z -jz +jz^2 -jz -j^2z -1 +j
<=> 0 = z^2 +jz^2
<=> 0 = z^2 (1 +j)
<=> 0 = z^2
<=> z = 0

Stimmt zwar, aber sieht mir ein bißchen nach Triviallösung aus.
Laut Übungszettel wäre hier 0 und 1 +j gewünscht gewesen.


Ich würde mich freuen, wenn mir jemand bei der ein- oder anderen Aufgabe helfen könnte.
Vielen Dank im Vorraus schonmal.


Korgo

P.S.: Bin spätestens um 19:00h wieder da, falls es Fragen geben sollte.


Zuletzt bearbeitet von Korgo am 08 Feb 2005 - 18:19:24, insgesamt einmal bearbeitet
Gast







BeitragVerfasst am: 07 Feb 2005 - 18:19:28    Titel:

Ich zeig dir mal anhand dieses Beispiels, wie das funktioniert:

1 /(z +1) = 3 -j
1 = ( 3 - j) * (z + 1) | : ( 3 - j)

1/(3 - j) = z + 1

[1/(3 - j)] - 1 = z | auf gemeinsamen Nenner bringen

( -2 + j) / (3 - j) = z

Im Nenner darf kein j stehen, daher überlegt man sich nun, wie man den Nenner j-frei macht.
Da j² = -1, versucht man mithilfe der binomischen Formel oder durch Quadrieren den Nenner j-frei zu machen. Das Ergebnis darf nicht verändert werden, aber wenn man es mit 1 multipliziert, dann verändert man ja nix, sondern formt bloß um. Und 1 = ( 3 + j)/(3 + j)
und zwar multipliziert man das nun deswegen damit, weil ( 3 - j) * (3 + j) = 9 - j² ist......und weiters: 9 - ( -1 ) = 10

daher:

(-2 + j) / (3 - j) * (3 + j) / (3 + j) = z

[ -6 + 3j - 2j + j² ] / [ 9 - j²] = z

[-7 + j] / 10 = z

Nun muss man den Nenner jedem einzelnen mitgeben, damit Realteil und Imaginärteil getrennt ist:

z = -7/10 + j/10

lg katja
Korgo
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Anmeldungsdatum: 07.02.2005
Beiträge: 8

BeitragVerfasst am: 07 Feb 2005 - 18:36:13    Titel: Vielen Dank!

Ahja, ich glaube ich habs, habe den Weg gerade selber nochmal nachvollzogen und es paßt, versuche mich nun mal an den anderen Aufgaben.

Vielen Dank! :o)


Korgo
Korgo
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Anmeldungsdatum: 07.02.2005
Beiträge: 8

BeitragVerfasst am: 08 Feb 2005 - 18:26:36    Titel: Weiteres Problem

Hallo zusammen,

ich konnte einige Aufgaben nun lösen, aber ich habe immernoch Probleme mit der 3. Aufgabe von oben.

Zitat:
3. Aufgabe:
1 /(z -j) - 1 /(z -1) = 1 +j


Ich habe es nun auf meheren Wegen versucht, aber ich kriege es nicht hin.
Welchen Schritt vergesse ich, oder bringt der Ansatz von oben nichts?

Vielen Dank schonmal im Voraus! :o)

Korgo
Gast







BeitragVerfasst am: 09 Feb 2005 - 01:11:48    Titel:

alles auf gemeinsamen Nenner bringen:

z - 1 - (z - j) = (1 + j) * (z - 1) * (z - j)

-1 + j = (1 + j) * (z² - z - jz + j)

(j - 1)/(j + 1) - j = z² - z - jz

linke Seite auf gemeinsamen Nenner bringen:

[ j - 1 - j² - j ] / [ j + 1] = z² - z - jz

0 = z² - z - jz

z * (z - 1 - j) = 0

Produkt-Null-Satz

z1 = 0 >> keine Lösung

oder:

z - 1 - j = 0
z = 1 + j
Korgo
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Anmeldungsdatum: 07.02.2005
Beiträge: 8

BeitragVerfasst am: 09 Feb 2005 - 17:50:01    Titel: Vielen Dank!

Ok, auch verstanden, immer fehlt der lezte Schritt.

Vielen Dank für die Lösung.


Korgo
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