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Exponentialfunktionen²
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Dajana
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Anmeldungsdatum: 07.02.2005
Beiträge: 5
Wohnort: Teutschenthal bei Halle/Saale

BeitragVerfasst am: 07 Feb 2005 - 22:44:12    Titel: Exponentialfunktionen²

Das radioaktive Isotop Kobalt Co-60 wird in der Medizin als Strahlungsquelle für
die Behandlung von Krebsgeschwüren eingesetzt. Der Krankheitsherd wird dabei mithilfe
einer "Kobaltkanone" "beschossen", wobei die Gammastrahlung des Kobaltsisotops das
kranke Gewebe zerstört.
Co-60 hat eine Halbwertszeit von 5,3 Jahren. Die noch vorhandene Masse m(t) von Co-60
hängt von der Zeit t ab und wird durch eine Exponentialfunktion beschrieben.
Es ist m(t)=m0a^-1, dabei ist die m0 die Masse zum Zeitpunkt t = 0.
a) In einem Behälter lagern 40g Co-60. Wie viel Gramm Co-60 sind nach einem Jahr noch
vorhanden?
b) Nach welcher Zeit sind nur noch 2g Co-60 vorhanden?
c) Wie lange dauert es, bis nur noch 2mg Co-60 vorhanden sind?









P.S.: es wäre schon nett, wenn man mir nicht nur die lösungen nennt, sondern auch die lösungswege...

danke im vorraus
Gast







BeitragVerfasst am: 07 Feb 2005 - 23:38:41    Titel:

Da hast, glaub ich, einen Abschreibfehler:

m(t) = m0 * a^(-t)

Die Formel bedeutet:

Endprodukt = Anfangsprodukt * a^(-t)

Als allererstes berechnet man sich a:

Halbwertszeit: ist die Zeit, in der nur noch die Hälfte der Anfangsmenge da ist.
Daher:

Am Ende ist nur noch die Hälfte der Anfangsmenge (m0) da:

Endprodukt = m0/2
t = 5,3 Jahre

einsetzen in die obige Formel:

m0/2 = m0 * a^(-5,3) ......Gleichung durch m0 dividieren

1/2 = a^(-5/3)
1/2 = 1/a^(5/3)
1/2 = 1/ 3.Wurzel aus(a^5) .......alles hoch 3, damit die Wurzel wegfällt
(1/2)³ = 1/a^5
a^5 = 1/(1/Cool
a^5 = 8 ...5.Wurzel ziehen
a = 5.Wurzel aus (Cool

Nun hast du das Zerfallsgesetz von CO-60:

M(t) = M0 * [5.Wurzel aus (Cool]^(-t)

Und mit diesem Zerfallsgesetz kannst du nun alles berechnen, was du über CO-60 wissen willst.

a)
40g CO-60 sind dein Anfangsprodukt und du willst wissen, wieviel nach einem Jahr noch vorhanden sind:
M0 = 40g
t=1
einsetzen ins Zerfallsgesetz und M(1) berechnen:

M(t) = 40 * [5.Wurzel aus 8]^(-1)
In den TR eingeben und das Endergebnis sind dann die Gramm.

b)
2g = Endprodukt
40g = Anfangsprodukt

2 = 40 * [5.Wurzel aus 8]^(-t) ....... : 40

1/20 = [5.Wurzel aus 8]^(-t) ......unter ln setzen
ln(1/20) = -t * ln(5.Wurzel aus Cool

-ln(1/20) / ln(5.Wurzel aus Cool = t

In den TR eingeben und das Ergebnis sind dann die Jahre...

c) 2 mg = 2 milligramm >> milli ( tausendstel) >> 1milligramm = 1 tausendstel eines Gramms = 1/1000

2/1000 = Endprodukt

Wieder einsetzen wie bei b und unter ln setzen und t berechnen.

Bei diesen Aufgaben musst immer drauf achten, dass du die richtigen Einheiten einsetzt. Und hier wurde das Zerfallsgesetz so berechnet, dass t in Jahren ist und Endprodukt und Anfangsprodukt in Gramm.

lg katja
Gast







BeitragVerfasst am: 07 Feb 2005 - 23:40:35    Titel:

Statt dem Smilie gehört die Zahl 8 hin.

lg katja
Gast







BeitragVerfasst am: 08 Feb 2005 - 01:06:42    Titel:

http://de.wikipedia.org/wiki/Halbwertszeit

m = m0*e^-(lambda*t)

lambda = ln2/T = ln2/5,3 = 0,1307824

m = m0*e^-0,1307824t

a)
m = 40*e^-(0,1307824*1) = 35,096g

b)
2 = 40*e^-0,1307824t
e^-0,1307824t = 2/40 = 0,05
-0,1307824t = ln0,05
t = ln0,05/(-0,1307824) = 22,906 Jahre

c)
0,002 = 40*e^-0,1307824t
e^-0,1307824t = 0,00005
t = ln0,00005/(-0,1307824) = 75,725 Jahre

Cool
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