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Kombinatorik
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Ensiferum
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Anmeldungsdatum: 01.11.2005
Beiträge: 667

BeitragVerfasst am: 22 Sep 2007 - 12:24:26    Titel:

Darauf wäre ich nie gekommen!
Ich könnt echt heulen, wie bist du so gut geworden??
Octavian
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Anmeldungsdatum: 08.03.2006
Beiträge: 1857
Wohnort: Sachsen

BeitragVerfasst am: 22 Sep 2007 - 12:49:51    Titel: Re: Kombinatorik

Ensiferum hat folgendes geschrieben:
also man hat eine fünfstellige zahl u. gefragt ist, wie viele zahlen lassen sich aus allen ziffern bilden, wenn jede ziffer höchstens einmal auftauchen darf-

b) die zahlen gerade sein sollen.

Die Lösung ist: E= 9*8*7*6*1 + 8*8*7*6 = 13776
Erster Term sollen alle Zahlen sein mit einer 0 am Ende. Der zweite Term sind Zahlen mit 2,3,6,8 am Ende u. 0 nicht an erster Stelle.

Ich habe mir gedacht:

Die 2,4,6,8,0 muss an den letzten Platz gehen, da ja sonst keine gerade zahl mehr ist, also habe ich ja schonmal für den rest der plätze nur 10-5 Möglichkeiten!
Sprich für den ersten Platz kommen 5 in Frage, für den zweiten 4, für den dritten 3 u. für den zweiten 2 u. für den letzten dann halt die 5!

=> E= 5*4*3*2*5 , kann mir jemand zeign wo mein denkfehler ist?
Denkfehler is folgender: Du hast EINE der Zahlen 2,4,6,8 und 0 am Ende, nicht ALLE!

Hast du am Ende eine 2, dann können die anderen Stellen doch noch mit 4,6,8 und 0 besetzt werden, oder? die fallen doch nich weg.


Ich fang mal etwas anders an, die Zahl aufzubauen, die Zahl aufzbauen, scheint mir hier geeigneter:

Zu erst die Fallunterscheidung, mit der Null, da diese eben Probleme macht ... sie darf ja generell nicht vorn stehen. Die Umsetzung macht Probleme, wenn sie bereits am Ende verbraucht wurde, deshalb die Unterscheidung.

1. Fall: 0 am Ende:
Kriterium "Gerade Zahl" -> bei 0 am Ende erfüllt. Nur eine Möglichkeit.
erste Stelle: 9 möglichkeiten, nämlich alle Ziffern, außer der, die an der letzten verwendet wurde.
zweite Stelle: 8 Möglichkeiten, alles, was noch nich verbraucht wurde dritte Stelle: 7 Möglichkeiten.
vierte Stelle: 6 Möglichkeiten

Für den Fall, der 0 am Ende ergibt sich also von vorn beginnend ( 1. Stelle, 2. Stelle ... usw.) : 9*8*7*6*1

2,4,6,8 am Ende:

Letzte Stelle: 4 Möglichkeiten, nämlich 2,4,6,8 -> Kriterium "Gerade Zahl" erfüllt
erste Stelle: 8 möglichkeiten, nämlich alle Ziffern, außer der, die an der letzten Stelle verwendet wurde UND die 0 ebenfalls nicht.
zweite Stelle: 8 Möglichkeiten, alles, was noch nich verbraucht wurde, die 0 ist jetzt wieder mit im Spiel, hier darf sie ja erscheinen.
dritte Stelle: 7 Möglichkeiten, alles was noch nich vergeben wurde
ertse Stelle: 6 Möglichkeiten

Für diesen Fall ergibt sich also von vorn beginnend: 8*8*7*6*4 -> die 4 hast du bei deiner als richtig bezeichneten Lösung vergessen hinzuschreiben, schätze ich.

Wir haben also 9*8*7*6*1 + 8*8*7*6*4 = 13776 Möglichkeiten.


Klaro? Kombinatorik is eigentlich recht einfach, man muss nur wissen, dass man die entscheidenen Fallunterscheidungen am Anfang vornehmen muss, sonst bekommt man die falschen Lösungen am Ende nicht mehr gescheit weggemogelt. Ich finde es cool, dass ihr solche Aufgaben löseun müsst. Mal interessehalber: Aus welchem BL kommst du?
Ensiferum
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Anmeldungsdatum: 01.11.2005
Beiträge: 667

BeitragVerfasst am: 22 Sep 2007 - 13:03:10    Titel:

Aus Hessen u. ich hatte bisher noch nie so probleme in Mathe wie jetzt. Ich kann mir das einfach nicht vorstellen bzw ich verstehe z.b. die beispielsaufgaben u. die erklärungen im Buch, kann das aber nicht übertragen auf die Anwendungen...
Octavian
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Anmeldungsdatum: 08.03.2006
Beiträge: 1857
Wohnort: Sachsen

BeitragVerfasst am: 22 Sep 2007 - 13:03:22    Titel:

Man kann auch erstmal fast alles zulassen und dann das verbotene ganz zum Schluss gesammelt rauswerfen:

5-stellige gerade Zahl, keine doppelten Ziffern.
letzte Stelle: 0,2,,4,6,8 -> 5 Möglichkeiten
erste Stelle: 9 übrige
zweite Stelle: 8 übrige
dritte Stelle: 7
vierte Stelle: 6

9*8*7*6*5 (hierin z.B. enthalten: 98764, 14358, 05392; sowas wie 98765 is raussortiert, weil die letzte Stelle ja nur mit geraden Ziffern besetzt wurde)

Davon sind aber alle, bei denen die 0 am Anfang steht verboten:
Null am Anfang: 1
am Ende also nur noch 2,4,6,8 möglich: 4
zweite Stelle: keine 0, nicht die letzte Ziffer, 8 Möglichkeiten
dritte Stelle: 7 übrige
vierte Stelle: 6 übrige

In unserem Ergebnis sind noch 1*8*7*6*4 unzulässige Zahlen versteckt, z.B. die 054312 oder 04286

Endergebnis: 9*8*7*6*5 - 1*8*7*6*4 = 13776 Möglichkeiten.


Ich persönlich nehme lieber den Weg, den ich im Post obendrüber geschildert habe. Den hier, kann man aber als Kontrolle mal durchdenken.


Beide Wege verstanden? Warum und wann man addiert und multipliziert, ist dir klar? Das is ja ein entscheidendes Puzzleteil für nen sinnvollen Weg.

Mit Formeln rumzujonglieren, sollte man nur versuchen, wenn man wirklich weiß, was man da macht und was drin steckt und was eben nicht., sonst ist's gefährlich. Bei so einer kurzen Aufgabe bringt die Formel auch jnicht wirkliche eine Verkürzung des Rechenaufwandes, also würde ich das einfach lassen.


Zuletzt bearbeitet von Octavian am 22 Sep 2007 - 13:09:38, insgesamt einmal bearbeitet
Ensiferum
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Anmeldungsdatum: 01.11.2005
Beiträge: 667

BeitragVerfasst am: 22 Sep 2007 - 13:09:17    Titel:

Naja ich hab jetzt noch genau 30 Stunden Zeit zu lernen für diese Arbeit am Montag.
ich hab mir deine Lösungen ausgedruckt u. gehe deas jetzt mal durch,
auf jeden Fall vielen Dank für die Mühe
Octavian
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Anmeldungsdatum: 08.03.2006
Beiträge: 1857
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BeitragVerfasst am: 22 Sep 2007 - 13:16:02    Titel:

Annihilator hat folgendes geschrieben:
Ist meines Erachtens ein Variationen-Problem. Die Lösung wäre meiner Meinung nach:

(10)_5 - (9)_4 = 27216

(n)_k = (n über k) * k! = n! / (n-k)!

Logische Erklärung: Eine 5-stellige Zahl aus 10 Ziffern zu bilden, dafür gibt es (10)_5 Möglichkeiten. Jetzt fallen alle weg, bei denen eine 0 am Anfang steht - (9)_4. Da das aber offensichtlich nicht das bei dir angegebene Ergebnis ist, ... tja.
Bei dir fehlt das Kriterium der geraden Zahl. Ich vermute, dass du die Frage von Ensiferum als zwei Aufgaben a) und b) interpretiert hast. Somit gilt "keine doppelte Ziffer" nur für a) und "Gerade Zahl" nur für b).
mit n über k sucht man 5 verschiedene Ziffern aus 10 Möglichen heraus (Kombination), mit 5! ordnest du sie auf die 5 Stellen an (du machst aus der Kombination eine, Variation), korrekt? Das mit der Geraden Zahl als Kriterium ist gar nich verarbeitet.

Kann das sein? Irgendwie so muss das gelaufen sein.

@Ensiferum: Es is verwirrend, wenn du eine Aufgabe stellst und eine Nummerieriung b) vornimmst, wenn es kein a) gibt. Mag ja sein, dass es im Buch unter b stand, aber das is eh uninteressant und führt nur zu missverständnissen, wel jeder normale dann das dazugehörige a) sucht.
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)

BeitragVerfasst am: 22 Sep 2007 - 13:26:19    Titel:

@Octavian
Ja, da hast du recht. habe das so verstanden, dass a) und b) getrennte Aufgabenstellungen wären... Das gesuchte Ergebnis müsste grob die Hälfte meines Wertes sein:

((10 über 5) * 5! - (9 über 4) * 4!)/2 = 13608

Naja - doch'ne recht große Abweichung...
Octavian
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Anmeldungsdatum: 08.03.2006
Beiträge: 1857
Wohnort: Sachsen

BeitragVerfasst am: 23 Sep 2007 - 10:57:11    Titel:

Is leider immer noch nich ganz korrekt. Die Überlegung, dass es wohl genauso viele gerade, wie ungerade Zahlen gibt, is zwar nich verkehrt. Ich musst auch erstmal überlegen, wo jetzt der Fehler liegt.

Du ziehst am Ende alles ab, bei dem eine 0 vorn steht, dann teilst du alles durch 2.
Problem bei der Sache: Bei den Zahlen, die du mit der Variation (10 über 5)*5! bildest verhält es sich wie folgt:

Weiß man, dass eine gerade Ziffer vorn steht, z.B. eine 0 dann gibt es unter diesen weniger gerade als ungerade Zahlen. Wieos bilde ich mir ein, dass sagen zu können? Naja von den 9 verbliebenen Ziffern sind 5 ungerade und nur 4 gerade.
(Beweise:
Gerade Zahl: 1. Stelle: 0 vorn; letzte Stelle: 2,4,6 oder 8 -> 4 Möglichkeiten; 2. Stelle: 8, 3. Stelle 7, 4. Stelle 6 ->1*8*7*6*4 = 1344 Zahlen deiner Variation (10 über 5) * 5! haben eine 0 vorn und sind gerade.

Ungerade: 1. Stelle 0; letzte Stelle: 1;3;5;7;9 -> 5; restliche Stellen analog wie oben ->1*8*7*6*5=1680)

Du ziehst eben 1680+1344= 3024 ab und teilst durch 2, was eben auf Grund der ungleichen Verteilung von geraden und ungeraden Zahlen ein Fehler ist.

Du musst also die hälfte der Differenz zu deinem Ergebnis addieren, um auf das richtige zu kommen, da du zu viel abgezogen hast.
13608 + 336/2 = 13776

Oder du korrigierst deine Rechnung:

[(10 über 5) * 5!] / 2 - [(9über4)*4!] * 4/9

Nicht so ganz einfach, die ganze Geschichte. Deswegen bevorzuge ich es auch die simplere Methode, bei der man nur beachten muss, die wirchtigen Fallunterscheidungen am Anfang und in richtiger Reihenfolge zu machen, um eben keine Dopplung reinzubeommen oder etwas zu vergessen.
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