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Gruppen isomorph?
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sundy
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Anmeldungsdatum: 10.09.2007
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 23 Sep 2007 - 00:12:01    Titel: Gruppen isomorph?

Hallo,

gäbe es einen "Standard"-Ansatz, wie ich folgende Frage lösen könnte?

Sind die Gruppen Z/2Z x Z/2Z und Z/4Z isomorph?

Z/4Z ist eine zyklisch Gruppe. Muss es Z/2Z x Z/2Z auch sein?
someDay
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Anmeldungsdatum: 04.09.2005
Beiträge: 3889

BeitragVerfasst am: 23 Sep 2007 - 05:08:14    Titel: Re: Gruppen isomorph?

sundy hat folgendes geschrieben:
Muss es Z/2Z x Z/2Z auch sein?


Ja.

Das folgt sofort daraus: Nehmen wir an, es gäbe einen Isom f : Z/4Z -> Z/2Z x Z/2Z.
Sei h € Z/2Z x Z/2Z. Dann gibt es ein eindeutiges, g € Z/4Z so das h = f(g). Da Z/4Z zyklisch ist, gibt es ein n so das g = k^n, wobei k die zyklische Gruppe Z/4Z erzeugt.
Es folgt dann sofort das h = f(k^n) = f(k)^n und folglich Z/2Z x Z/2Z = <f(k)>.

sD.
sundy
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Anmeldungsdatum: 10.09.2007
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 23 Sep 2007 - 09:22:52    Titel:

Danke!

Und wie könnte ich bestimmen, dass dei beiden Gruppen isomorph sind?
someDay
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Anmeldungsdatum: 04.09.2005
Beiträge: 3889

BeitragVerfasst am: 23 Sep 2007 - 18:13:37    Titel:

sundy hat folgendes geschrieben:
Und wie könnte ich bestimmen, dass dei beiden Gruppen isomorph sind?


Ist Z/2Z x Z/2Z denn zyklisch?
Tipp: (1,0) * (1,0) = (0,0), und (0,1) * (0,1) = (0,0). Und was wissen wir über zyklische Gruppen?

sD.
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