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2 Ebenen in Koordinatenform gleichsetzen
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> 2 Ebenen in Koordinatenform gleichsetzen
 
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rittergig
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Anmeldungsdatum: 08.05.2007
Beiträge: 134

BeitragVerfasst am: 23 Sep 2007 - 13:57:18    Titel: 2 Ebenen in Koordinatenform gleichsetzen

Was kommt raus, wenn ich 2 sich schneidene Ebenen in Koordinatenform bzw. in Hessischer Normalenform gleichsetze und z.B. nach 0 umstelle.
Dann habe ich doch auch wieder eine Ebenengleichung. Jetzt interessiert mich, ob diese Ebenengleichung irgendwelchen speziellen Eigenschaften hat.

Wie komme ich darauf.
In der Schule hatten wir mal eine Aufgabe: 2 sich schneidene Ebenen
und wir sollten die Ebene H berechnen, die die erste Ebene in die zweite Ebene spiegelt - also eine Ebene, die die erste Ebene mit dem selben Winkel, wie die 2. Ebene schneidet.
Mein Ansatz war Abstandsberechnung, denn beide Ebenen haben den selben Abstand zu einem beliebigen Punkt auf der Ebene H.
(Ich weiß, dass der Ansatz falsch ist und ich weiß jetzt auch den richtigen Ansatz. Das ist also nicht mein Problem)
Ich habe also die Hessische Normalenform der 1. und 2. Ebene aufgestellt und diese Gleichgesetzt, denn meine Logik: meide gleichen Abstand zu gleichen Punkt. Dann nach 0 umgestellt und siehe da -> eine neue Ebenengleichung. Doch leider war das nicht die gesuchte.

Aber welchen mathematischen Zusammenhang hat diese neue Ebenengleichung mit den ursprünglichen? Ich konnte bis jetzt keine besonderen Eigenschaften feststellen.
Gibt es überhaupt welche?
Geraden in der Ebene kann ich doch auch einfach gleichsetzten und ich erhalte einen Punkt (bzw. nur eine Stelle eines Punktes) mit speziellen Eigenschaften -> Schnittpunkt.

Das muss doch bei der Ebene im Raum auch gehen oder?

Sorry, aber das Thema lässt mich einfach nicht locker.


Weitere Frage:
Was kommt eigentlich heraus, wenn ich eine Eben in die andere Ebene einsetze (beide als Koordinatengleichungen)? Also z.B. stelle ich eine Ebene nach z um und setzte sie in die andere ein. Dann stelle ich diese Gleichung nach y um und als Ergebnis erhalte ich eine Geradengleichung in einer Ebene.
M45T4
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Anmeldungsdatum: 22.08.2007
Beiträge: 3718
Wohnort: Browntown

BeitragVerfasst am: 24 Sep 2007 - 14:26:00    Titel:

hessische normalen form !! xD

der crazy typ der das herausgefunden hat hieß Ludwig Otto Hesse.
Demzufolge auch Hessesche Normalenform


Weiterhin:
Wenn du zwei Ebenen gleichsetzt bekommst du in der Regel die schnittgerade raus, falls es eine gibt..


Zuletzt bearbeitet von M45T4 am 24 Sep 2007 - 14:51:21, insgesamt einmal bearbeitet
mkk
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Anmeldungsdatum: 05.04.2005
Beiträge: 483

BeitragVerfasst am: 24 Sep 2007 - 14:39:19    Titel:

Zunächst mal etwas zu dem Ansatz mit den Koordinatengleichungen:

eine Ebene hat keine eindeutig bestimmte Koordinatengleichung (KGL), denn wenn man eine KGL mit einer von 0 verschiedenen reellen Zahl multipliziert, erhält man eine andere KGL derselben Ebene.

Daraus ergibt sich, daß die Ebene, die Du durch
1. Auflösen nach 0 beider KGLs
und
2. Gleichsetzen nach 0

erhältst, auch nicht eindeutig sein kann.
Auf jeden Fall enthält sie aber die Schnittgerade der beiden ursprünglichen Ebenen.

Jetzt zur Hesse'schen Normalenform (HNF):

Seien die beiden Ebenen gegeben als

E_1: n_1*x = d_1

und

E_2: n_2*x = d_2.

Dann erhält man also die Gleichung

n_1*x - d_1 = n_2*x - d_2

oder (umgestellt):

(n_1 - n_2)*x = d_1 - d_2

Diese Gleichung beschreibt nun wiederum eine Ebene; sie ist nicht notwendigerweise eine HNF, aber trotzdem kann man folgendes sagen:

Ihr Normalenvektor ergibt sich aus der Prämisse, daß E_1 und E_2 in HNF gegeben sind, eindeutig bis auf sein Vorzeichen. Also ist die Richtung dieser Ebene eindeutig festgelegt durch E_1 und E_2.

Ebenfalls enthält diese Ebene die Schnittgerade von E_1 mit E_2, denn die Punkte dieser Geraden erfüllen beide Ebenengleichungen und somit trivialerweise auch die neue Gleichung!

Schaut man sich nun einmal das Vektorparallelogramm von n_1 und n_2 an, stellt man fest, es handelt sich um eine Raute! Somit teilt der Normalenvektor n_1 - n_2 der neuen Ebene tatsächlich einen der beiden Winkel zwischen E_1 und E_2 in zwei gleiche Teile.

Also folgt:

Sind E_1 und E_2 in HNF gegeben und man verfährt so, wie Du es geschildert hast, erhält man auf diese Weise tatsächlich eine der beiden möglichen Spiegelebenen.
rittergig
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Anmeldungsdatum: 08.05.2007
Beiträge: 134

BeitragVerfasst am: 24 Sep 2007 - 20:04:33    Titel:

M45T4 hat folgendes geschrieben:
hessische normalen form !!

Die Hessische Normalenform ist noch die Ebenengleichung nach 0 umgestellt und durch den Betrag des Normalenvektor dividiert!?

M45T4 hat folgendes geschrieben:
Wenn du zwei Ebenen gleichsetzt bekommst du in der Regel die schnittgerade raus, falls es eine gibt..

mkk hat folgendes geschrieben:
Auf jeden Fall enthält sie aber die Schnittgerade der beiden ursprünglichen Ebenen.

Das sieht mir aber eher nach einer Ebenengleichung aus.

1. Beispiel
Gegeben sind:
E1: 2x + y - 2z - 4 = 0
E2: 4x - 2y + z + 3 = 0

Jetzt setzte ich die Ebenen einfach mal gleich (E1 = E2):
2x + y - 2z - 4 = x - 2y + z + 3

-> jetzt nach 0 umstellen
x + 3y - 3z - 7 = 0
-> Das ist doch wieder eine Ebenengleichung! Aber was ist das für eine Ebene? Welche Eigenschaften hat diese?
Muss ich, damit was sinnvolles rauskommt, vllt. erst die beiden Normalenvektoren auf die Gleiche Länge/ Betrag bringen? Also ein vielfaches von den beiden Normalenvektoren bilden, wobei der Betrag dann gleich ist.

Jetzt noch zum 2. Problem ein Beispiel. Wenn ich jetzt die beiden Ebenengleichungen E1 und E2 nicht gleichsetzte, sondern eine in die andere Einsetzte:
-> E1 nach z umstellen: z = x + 1/2y - 2
-> E1 in E2 einsetzen: 4x - 2y + (x + 1/2y - 2) + 3 = 0
-> nach y umstellen: y = 10/3x + 2/3
-> das ist doch eine Geradengleichung!? Aber was ist das Genau für eine Gerade? Ist das die Schnittgerade, die auf der Ebene E2 entsteht?


mkk hat folgendes geschrieben:
Sind E_1 und E_2 in HNF gegeben und man verfährt so, wie Du es geschildert hast, erhält man auf diese Weise tatsächlich eine der beiden möglichen Spiegelebenen.

Kann das leider nicht ganz nachvollziehen. Die Ebene, die ich erhalten habe teilt weder den Schnittwinkel von E1 und E2, noch spiegelt sie E1 in E2.

Ich würde mir das gerne mal grafisch anschauen, aber ich habe bis jetzt keine brauchbare Software gefunde. Nur PMath Vektor, doch das Programm zeichnet die Ebenen immer so ungünstig, so dass man oft nichts erkennen kann.
M45T4
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Beiträge: 3718
Wohnort: Browntown

BeitragVerfasst am: 24 Sep 2007 - 21:34:52    Titel:

Zitat:
Die Hess[E!]sche Normalenform ist noch die Ebenengleichung nach 0 umgestellt und durch den Betrag des Normalenvektor dividiert!?

richtig.

ich gebe dir recht in dem punkt, dass wenn man zwei ebenen gleichsetzt eine neue ebenengleichung erhält.. verfahre sonst immer nach dem einsetzungs verfahren.. also zb e1 (in parameterform) in e2(in koordinatenform) einsetzen = schnittgerade Wink
rittergig
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Anmeldungsdatum: 08.05.2007
Beiträge: 134

BeitragVerfasst am: 25 Sep 2007 - 19:33:45    Titel:

Wie man die Schnittgerade errechnet ist mir bekannt.

Aber ich würde zugerne wissen was das für eine Ebenengleichung ist die durch Gleichsetzten beider Ebenen in KF ensteht. Diese Gleichung muss doch auch irgendeine besondere mathematische Bedeutung haben.
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 25 Sep 2007 - 20:03:00    Titel:

Zitat:
würde zugerne wissen was das für eine Ebenengleichung ist die durch Gleichsetzten beider Ebenen in KF ensteht.

es ist einfach
immer so:
es wird eine Ebene dargestellt, die die Schnittgerade der beiden Ausgangsebenen enthält.

nehme mal dein Beispiel von vorher:

E1: 2x + y - 2z - 4 = 0
E2: 4x - 2y + z + 3 = 0

E1 könntest du auch so notieren : 4x + 2y - 4z - 8 = 0
ok? oder allgemeiner mit beliebiger von Null verschiedener Konstanten k:
E1: 2kx + ky - 2kz - 4k = 0

so - und wenn du jetzt "gleichsetzt" und ordnest Arrow
4x - 2y + z + 3 = 2kx + ky - 2kz - 4k Arrow

(2k-4)x + (k+2)y - (2k+1)z -4k-3 =0
dann hast du hier ein Ebenenbündel (wenn k die reellen Zahlen durchläuft)
das durch die Schnittgerade vom ursprünglichen Paar E1, E2 geht
(wie ein aufgeblättertes Buch...)
PS: wie wäre es damit:allgemeiner: m*E2=k*E1 ... usw... ?

Zusatz:
wenn du E1 und E2 in HNF aufschreibst und dann gleichsetzt (mit + oder -)
dann erhältst du die WinkelhalbierendenEbene(n) zwischen E1 und E2 -
du kannst dir sicher selbst klarmachen wieso? Wink
ok Question
rittergig
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Anmeldungsdatum: 08.05.2007
Beiträge: 134

BeitragVerfasst am: 27 Sep 2007 - 15:56:24    Titel:

@mathefan
Ich dank dir! Das konnte mir meine Lehrerin nicht sagen.

Hab noch eine Frage:
Aber was passiert, wenn ich E1 nach z auflöse und dann die daraus resultierende Gleichung in E2 einsetze.
Dann fällt noch die Variable x raus und es ensteht eine Geradengleichung g in der Ebene.

E1: 2x + y - 2z - 4 = 0 -> z = x + 1/2y - 2
E2: 4x - 2y + z + 3 = 0
-> 4x - 2y + (x + 1/2y - 2) + 3 = 0
-> 5x - 3/2y + 1 = 0
-> g: y = 10/3x + 2/3

Ist diese Gleichung vllt. die Schnittgerade auf der Ebene E2. Also ich meine die Geraden, die ich sehen würde, wenn ich ein 2D-Koordinatensystem über E2 lege.
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 27 Sep 2007 - 22:44:05    Titel:

Zitat:


E1: 2x + y - 2z - 4 = 0 -> z = x + 1/2y - 2
E2: 4x - 2y + z + 3 = 0
-> 4x - 2y + (x + 1/2y - 2) + 3 = 0
-> 5x - 3/2y + 1 = 0
-> Sad g: y = 10/3x + 2/3 Sad

Zitat:
Ist diese Gleichung vllt. die Schnittgerade auf der Ebene E2. Sad
Also ich meine die Geraden, die ich sehen würde, wenn ich ein 2D-Koordinatensystem über E2 lege.

Nein

Es ist so : dein 5x - 3/2y + 1 = 0 ist im Raum eine der vielen "Blätter des Buches" (siehe oben),
also 5x - 3/2y + 1 = 0 ist im Raum nicht die Gleichung einer Geraden sondern die Gleichung einer neuen Ebene E3,
die ebenfalls durch die Schnittgerade von E1 und E2 geht.

Probiere es selbst aus:
eine mögliche Gleichung der Schnittgeraden g von E1 und E2 ist zB:
(x/y/z)= (-2/-6/-7) +t*(3/10/8 )

also: zB die beiden Punkte P(-2/-6/-7) und Q((1/4/1) legen g fest...

(Mach selbst die Probe: Setze P und Q in E1, E2, E3 ein, du wirst sehen: jede Gleichung ist erfüllt
also: P und Q liegen in jeder dieser Ebenen, also auf der Schnittgeraden

Alles klar?

Und damit du ein für alle Mal weisst:
eine lineare Gleichung im Raum
ax+by+cz+d=0
stellt immer eine Ebene dar (auch wenn mal eine der Konstanten/Parameter, wie zB das c=0 ist)
Die Gleichung einer Geraden im Raum ist immer mit Parameterdarstellung anzugeben.
ok?
rittergig
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Anmeldungsdatum: 08.05.2007
Beiträge: 134

BeitragVerfasst am: 30 Sep 2007 - 15:31:36    Titel:

mathefan hat folgendes geschrieben:
Alles klar?

Jop.

Eins möchte ich abschließend noch wissen.
Funktionieren folgende Berechnungen über den Abstand/ Hessische Normalen Form?

Def.:
- d (1;2) - Abstand von 1 bis 2
- E1, E2 und E3 schneiden sich alle in einer Gerade, also sind 3 "Blätter des selben Buches"
- wenn E1 an E3 gespiegelt wird, entsteht E2 (E1 wird durch E3 in E2 überführt)
- KF - Koordinatenform
- HNF - Hessische Normalenform

d(E1;P) = d(E2;P) -> E3
-> E3: 0 = d(E1;P) - d(E2;P)
-> KF(E3) = HNF(E1) - HNF(E2)

bis hierhin ist mir alles klar. Aber kann ich diese Rechnung auch umdrehen.
Bsp: ich habe E1 und E3 in KF gegeben und will möglichst einfach die Ebene (E2) berechnen, die ensteht, wenn ich E1 an E3 spiegele.

Ansatz: KF(E3) = HNF(E1) - HNF(E2)
Umgestellt: HNF(E2) = HNF(E1) - KF(E3)

Kann man das einfach so machen?
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