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Analytische Geometrie
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Sue20
Gast






BeitragVerfasst am: 08 Feb 2005 - 17:27:50    Titel: Analytische Geometrie

Man bestimme die Hessesche Normalform der Ebenengleichung für die Ebene, auf der der Vektor a = (2 3 6) senkrecht steht und die den Punkt (-2,-1,1) enthält.

Die hab ich : 2/7 x + 3/7 y + 6/7 z - 1/7 = 0 (mit normiertem Normalenvektor)

Nun ist die Frage, welche Abstände die Punkte P1 (-1,0,2) und P2 (-1,-1,1) von E haben. Lösung: h1 = 11/7, h2 = 2/7

Wie geht man hier vor, wenn die Ebene in parameterfreier Darstellung vorliegt und der Abstand Punkt - Ebene gesucht ist? Ich kenne nur die Formel für die Parameterdarstellung: h = (|c*n|)/|n| (wobei c = P1P0, P1 ist Ortsvektor der Ebene, P0 ist der Punkt).
Und wie geht man generell vor, wenn 3 Punkte gegeben sind, die in einer Ebene liegen und die parameterfreie Gleichung gesucht ist? Wie setzt man da die Punkte ein? Gibt es da eine einfachere/schnellere Lösung, als erst die Parametergleichung aufzustellen und dann den Normalenvektor auszurechnen?

LG Sue
3li7är
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Anmeldungsdatum: 04.02.2005
Beiträge: 357

BeitragVerfasst am: 09 Feb 2005 - 16:38:56    Titel:

hallo,

mir ist nicht ganz klar, was deine frage ist...

im überblick:

An der parameterfreien darstellung kannst du einen normalenvektor ablesen.

wenn du diese gleichung durch |n| teilst, kannst du die punkte einfach einsetzen und du bekommst den abstand.

zum zweiten teil:

du kannst ein gleichungssystem hinschreiben, wo a, b und c die unbekannten sind.

a* x1(P1) + b*x2(P1) + c*x3(P1) + 1 = 0
a* x1(P2) + b*x2(P2) + c*x3(P2) + 1 = 0
a* x1(P3) + b*x2(P3) + c*x3(P3) + 1 = 0

die 1 ist willkürlich gewählt, es gibt ja viele parameterfreie darstellungen.

nun noch das system lösen. und dann ist

a* x1 + b*x2 + c*x3 + 1 = 0

parameterfreie darstellung der ebene.

allerdings kann diese geschichte schief gehen, z.b. wenn der ursprung in der ebene liegt.

gruß
otto
Gast







BeitragVerfasst am: 09 Feb 2005 - 18:19:02    Titel:

Man bestimme die Hessesche Normalform der Ebenengleichung für die Ebene, auf der der Vektor a = (2 3 6) senkrecht steht und die den Punkt (-2,-1,1) enthält.

Die hab ich : 2/7 x + 3/7 y + 6/7 z - 1/7 = 0 (mit normiertem Normalenvektor)

Nun ist die Frage, welche Abstände die Punkte P1 (-1,0,2) und P2 (-1,-1,1) von E haben. Lösung: h1 = 11/7, h2 = 2/7

Wie geht man hier vor, wenn die Ebene in parameterfreier Darstellung vorliegt und der Abstand Punkt - Ebene gesucht ist? Ich kenne nur die Formel für die Parameterdarstellung: h = (|c*n|)/|n| (wobei c = P1P0, P1 ist Ortsvektor der Ebene, P0 ist der Punkt). "


Antwort:

d(=Abstand) = Bruchstrich machen, im Zähler steht die Ebenengleichung und im Nenner der Betrag des Normalvektors der Ebene

und dann für x, y und z im Zähler die Koordinaten des Abstandspunktes einsetzen. Falls eine Minuszahl rauskommt, durch Betragstriche positiv machen:

Ebenengleichung: (Ich hab die Gleichung * 7 gemacht):

2x + 3y + 6z - 1 = 0
Normalvektor = (2/ 3/ 6)
Abstandspunkt = ( - 1/ 0 / 2)

d = | [ 2x + 3y + 6z - 1] / [ sqrt( 2² + 3² + 6²)] |

Nun Koordinaten des Abstandspunktes einsetzen:

d = | [ 2 * (-1) + 3 * 0 + 6 * 2 ] / [ 7] |

d = | 10/7 |
d = 10/7


2.
Und wie geht man generell vor, wenn 3 Punkte gegeben sind, die in einer Ebene liegen und die parameterfreie Gleichung gesucht ist? Wie setzt man da die Punkte ein? Gibt es da eine einfachere/schnellere Lösung, als erst die Parametergleichung aufzustellen und dann den Normalenvektor auszurechnen?

Die parameterfreie Form der Ebene lautet:

Normalvektor * X = Normalvektor * bekannter Punkt

dann ausmultiplizieren und fertig!

z.b.
P(1/1/1) Q(2/-3/5) R(0/2/-7)

Richtungsvektor PQ = Q - P = (1/ -4 / 4)
Richtungsvektor PR = R - P = (-1/ 1 / - 8 )

Nun Kreuzprodukt machen, damit man den Normalvektor bekommt:

PQ x PR = (28 / 4/ -3)
Punkt = z.b. P
dann einsetzen:

(28/4/-3) * (x/y/z) = (28/4/-3) * (1/1/1)

ausmultiplizieren:

E: 28x + 4y -3z = 29
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