Gruppen, Verknüpfungstabelle

Knusperkekse · Junior Member Anmeldungsdatum: 25.09.2007 Beiträge: 57

Hallo Community,

momentan Versuche ich mich gerade in das Thema Gruppen einzuarbeiten, komme damit aber nicht so recht klar.
Ich hab hier eine Aufgabe mit einer Verknüpfungstabelle und wäre für Hinweise und Anregungen dankbar:

Also gegeben ist dies Tabelle:

Majin_Clodan · Junior Member Anmeldungsdatum: 27.05.2008 Beiträge: 77 Wohnort: Cottbus

*push*

Ich bekam genau die gleiche aufgabe auf.
Kann mir jemand erklären, wie man nur aus 3 Eintragungen das neutrale Element ermittelt? Ich meine, diese 3 Eintragungen zeigen ja nicht sofort, wie das neutrale Element heisst. O.o
Wie geht man da am Besten ran?

Vielen Dank für die hilfe. Smile

MFG Majin_Clodan

Jonsy · Senior Member Anmeldungsdatum: 11.02.2007 Beiträge: 3099

Nun ja, fuell einfach mal so aus, dass die Gruppenaxiome dabei erfuellt sind. Denk dabei einfach noch an die Assoziativitaet, dann ergibt sich das. Die Gruppentafel hat uebrigens nicht eindeutig zu sein!

Jonsy

Tiamat · Senior Member Anmeldungsdatum: 25.01.2008 Beiträge: 2092 Wohnort: Aurich

Zur grundsätzlichen Vorgehensweise:

Du musst, wie Jonsy richtig sagte, die Gruppenaxiome anwenden, d.h.
- Welches könnte das neutrale Element sein? (--> IG, hast du richtig erkannt)
- Welche Elemente sind invers zueinander?
- Wie kann ich aus gegebenen Verknüpfungen durch weitere Verknüpfung von links oder rechts neue Infos bekommen?

In deiner zweiten Tabelle ist an der Stelle NO * NO noch eine Lücke. Welches Element kann dort nur stehen? Richtig, RA, denn sonst sind in der Zeile schon alle Elemente vergeben (Sudoku-Prinzip).

IG ist das neutrale Element. Wir wissen: NO * MUS = IG, also müssen NO und MUS invers zueinander sein. Also kommt auch unter MUS * NO = IG.
Dann sieht die Tabelle so aus:

Majin_Clodan · Junior Member Anmeldungsdatum: 27.05.2008 Beiträge: 77 Wohnort: Cottbus

Hi Leute!

Also ich habe nun die Tabelle fertig. Eines fehlt aber leider noch. Wir müssen noch zeigen, dass die Gruppe kommutativ ist d.h. wir können nicht einfach so davon ausgehen, dass die Gruppe auch kommutativ ist.

Ich weiß, wie die allg. Berechnungsvorschrift der Kommutativ für Gruppen lautet:
a*b*a*b = e
a*b*a*b*b = a*b*a = b
=> a*b = b*a

Aber wie zeige ich das jetzt an dieser Aufgabe? Klar, ich könnte es für jeden Eintrag beweisen, aber das wären ja 125 Berechnungen und das wäre wohl ein bisschen zu krass. Razz

Wie könnte man das anders bzw. kürzer zeigen? Smile

MFG Majin_Clodan

Tiamat · Senior Member Anmeldungsdatum: 25.01.2008 Beiträge: 2092 Wohnort: Aurich

Du könntest vielleicht sagen, dass man in der Verknüpfungstabelle eine Diagonale von links oben nach rechts unten ziehen kann und dann die beiden Hälften genau gespiegelt sind, d.h. wenn am Knotenpunkt A*B = C steht, dann steht C auch am Knotenpunkt B*A. Damit hättest du die Kommutativität. Wenn es ohne die Verknüpfungstabelle gehen soll, wirst du wohl um eine Einzelfallbetrachtung nicht herumkommen. Diese ist allerdings nicht so aufwändig, wie du glaubst:

Wir haben 5*5 = 25 Einträge. Davon können wir streichen:
- BI*BI, NO*NO, MUS*MUS, usw., also alle Selbstverknüpfungen, die sind automatisch kommutativ (5 Einträge)
- Alle Verknüpfungen BI*IG, MUS*IG, NO*IG usw. und ihre Umkehrung, denn eine Verknüpfung mit dem neutralen Element ist auch automatisch kommutativ. Das macht 8 Einträge, die gestrichen werden können.
- Alle Verknüpfungen BI*RA = IG, MUS*NO = IG, also alle, die das neutrale Element ergeben, denn die Verknüpfung mit dem inversen Element ist ebenfalls automatisch kommutativ. Macht nochmal 4 Einträge.

Insgesamt also 17 Einträge, die wegfallen, bleiben noch 8 Einträge, d.h. 4 Paare und die sind mit wenig Schreibarbeit abgehandelt. Wink

Edit: Nach Ewigkeiten bin ich endlich hinter den Sinn dieser Wortsilben gekommen: IGNORABIMUS... Klasse. Laughing

Binomialkoeffizient · Senior Member Anmeldungsdatum: 30.07.2008 Beiträge: 590 Wohnort: Bayern

Also wenn man das Neutralelement hat kann man quasi nach dem Sudokuprinzip fortfahren? Man schaut halt was in eine Spalte noch rein muss und vergleicht dann damit, was in der Zeile noch verwendet werden darf?