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Gebrochenrationale Funktion
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New-Student
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Anmeldungsdatum: 05.01.2006
Beiträge: 81

BeitragVerfasst am: 07 Okt 2007 - 14:42:12    Titel: Gebrochenrationale Funktion

Hallo zusammen.
Ich habe eine kleine verständniss frage wo ich mir nichts so ganz sicher bin.

wenn ich stehen habe: "geben sie die funktion f(x)= 1/(1-x²) als summe zweier gebrochenrationale funktion an."

würde dieser ansatz richtig sein : 1/(1+x)(1-x)?
Aber ich weis jetzt nicht was so mit summe gemeint ist :S...

Bitte um Hilfe.

LG
ingu
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Anmeldungsdatum: 18.02.2006
Beiträge: 1003

BeitragVerfasst am: 07 Okt 2007 - 15:07:08    Titel:

hallo,
wie wärs mit ner Partialbruchzerlegung? schonmal davon gehört oder eher noch Neuland?
New-Student
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Anmeldungsdatum: 05.01.2006
Beiträge: 81

BeitragVerfasst am: 07 Okt 2007 - 15:13:45    Titel:

hmm nein eher nicht wie kann ich das denn damit lösen...geht es mit der Partialbruchzerlegung schneller???
ingu
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Anmeldungsdatum: 18.02.2006
Beiträge: 1003

BeitragVerfasst am: 07 Okt 2007 - 15:25:24    Titel:

hmm, Partialbruchzerlegung ist für - ich sag mal - Anfänger nicht grad so sehr schön... Aber führt zum Ziel:

Zuerst rechnest du die Nullstellen des Nennenrpolynoms aus und schreibst den Nenner in die Form (x - x_1)(x - x_2)... (hast du bereits gemacht)
Code:

   1              1              a         b   
------- = ----------------- = ------- + -------
      2   
 1 - x    (1 - x)·(1 + x)     1 - x     1 + x

mit a und b bisher noch unbekannten Variablen. (Funktioniert so nur bei einfachen Nullstellen!!!)

Dann wird auf der rechten Seite der Hauptnenner gebildet:
Code:
        1            a·(1 + x) + b·(1 - x)
----------------- = -----------------------
 (1 - x)·(1 + x)        (1 - x)·(1 + x)   


Man sieht, dass 1 = a·(1 + x) + b·(1 - x) gelten muss.

Um a und b zu ermitteln, setzt du der Reihe nach die Nullstellen in den Ausdruck ein, damit jeweils eine Klammer gleich Null wird:

Nullstelle 1 bei x = +1:
1 = a·(1 + 1) + b·(1 - 1) → 1 = 2a → a = 1/2

Nullstelle 2 bei x = -1:
1 = 1 = a·(1 + (-1)) + b·(1 - (-1)) → 1 = 2b → b = 1/2

Somit gilt:
Code:

             1         1   
   1        ---       ---          1             1     
             2         2   
------- = ------- + ------- = ----------- + -----------
      2   
 1 - x     1 - x     1 + x     2·(1 - x)     2·(x + 1)
New-Student
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Anmeldungsdatum: 05.01.2006
Beiträge: 81

BeitragVerfasst am: 07 Okt 2007 - 15:29:23    Titel:

erstmal vielen Herzlichen dank das du mir diese möglichkeit gezeigt hast sieht echt kompliziert aus aber denke man kann das schnell verstehen...werde mir noch so paar aufgaben machen damit das sitzt...

Dankeee schönen Tag dann noch

LG
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)

BeitragVerfasst am: 07 Okt 2007 - 16:01:01    Titel:

Noch ganz anders:

y = 1 / (1-x²)
z = 1 - x²
1 = z + x²

y = (z + x²) / z = 1 + x² / z = 1 + x² / (1 - x²)

Damit wäre die Aufgabe wohl auch erfüllt.
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