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Beweis gesucht: Tangente und Normale
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Beweis gesucht: Tangente und Normale
 
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Stalafin
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Anmeldungsdatum: 11.12.2005
Beiträge: 280

BeitragVerfasst am: 07 Okt 2007 - 23:27:48    Titel: Beweis gesucht: Tangente und Normale

Habe hier eine spaßige Gleichung, bei der ich Tangente und Normale bestimmen darf.
Aus der Schule erinnere ich mich daran, dass die Tangetensteigung in einem Punkt x_0 gleich der Wert der ersten Ableitung mit x_0 ist. Die Normale dazu hat den Anstieg von - (1/m) mit m als Anstieg der Tangente. xD

Jaaa, ich weiß jetzt aber nicht wieso das so ist... und da es gerade 11:30pm ist und ich eh nix besseres zu tun hab suche ich nach dem Grund (oder halt der Herleitung)............


EDIT: Ah, und gleich nochwas:
Die Gleichung ist f(x)=1/x !
Damit ist die erste Ableitung f'(x)=-1/x^2

Damit ist der Anstieg in f'(-1)=-1 und der Punkt von f(-1)=-1

Und damit ist nach f(x)=mx+n die Funktion für die Tangente T: t(x)= - x - 2.

Wenn ich nun den Kram im folgenden Online-Plotter eingebe bekomme ich nicht ganz das raus, was ich haben möchte...: http://rechneronline.de/funktionsgraphen/

Das sieht nicht gerade nach eine Tangente von f(-1) aus.
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 07 Okt 2007 - 23:38:30    Titel:

Also das mit der Tangentensteigung sollte klar sein. (Wie war denn die Ableitung an der Stelle x_0 definiert?)

Dass zwei Geraden, die senkrecht zueinanderstehen Anstiege haben, deren Produkt -1 ist, erkennt man durch Nachrechnen, wenn man den Zusammenhang zwischen Anstieg einer Geraden und dem Winkel zsichen der positiven x-Achse und ihr (m=tan(alpha)) verwendet:

Sei m1 der Anstieg der Gerade, welche von der positiven x-Achse aus gesehen "zuerst kommt", und sei alpha1 der entspr. Winkel, d.h. es gilt m1=tan(alpha1).

Seien m2 und alpha2 entsprechend die Größen der zweiten Geraden, also m2=tan(alpha2).

Nun ist alpha2=alpha1+90°. Dies erkennt man leicht durch eine Skizze, in der man die zweite Gerade parallel durch den Schnittpunkt der ersten Gerade mit der x-Achse verschiebt, und ein wenig auf Stufenwinkel achtet.

Also ist m1*m2=tan(alpha1)*tan(alpha1+90°)=tan(alpha1)* sin(alpha1+90°)/cos(alpha1+90°)
= tan(alpha1) * [sin(alpha1)*cos(90°)+cos(alpha1)*sin(90°)]/ ...
=-1. Wink


Cyrix
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8200
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 07 Okt 2007 - 23:40:39    Titel:

Erster Graph: 1/x
Zweiter Garaph -x-2

Gruß, mike
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