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eigenwert von 4x4 matrix
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granadunow
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Anmeldungsdatum: 08.10.2007
Beiträge: 8

BeitragVerfasst am: 09 Okt 2007 - 10:59:24    Titel: eigenwert von 4x4 matrix

einen wunderschönen guten Tag,

ich soll für die Matrx: A= 4 2 0 0
0 4 2 0
0 1 4 2
0 0 1 4, welche 4 positive eigenwerte besitzt, zeigen dass der größte eigenwert =6 ist.

ich habe diese Matrix in eine dreiecksmatrix umgewandelt und daraus das charakteristische polynom berechnet.

1) Das war sehr langwierig. gibt es vielleicht eine schnellere variante?

nun habe ich mir gedacht ich rechne wie bei der extremstellenberechnung f'(6)= 0 und f''(6)<0. bei f ist das charakteristische polynom.

2) wär das eine möglichkeit diese aufgabe zu lösen?

wir haben auch noch eine ähnlich 4x4 matrixaufgabe, bei der wir zeigen sollen das 4 der doppelte eigenwert der matrix ist. wenn ich das polynom mit dem newtonsche näherungsverfahren und dem wert 4 zweimal durchrechne und beide male die hinterste zahl 0 wird.

3) wäre dann die aufgabe gelöst?

viele lieben dank im vorraus
mkk
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Anmeldungsdatum: 05.04.2005
Beiträge: 483

BeitragVerfasst am: 09 Okt 2007 - 12:21:06    Titel:

Die Umwandlung in eine Dreiecksmatrix braucht man nicht unbedingt zu machen. Stattdessen kann man das charakteristische Polynom, also die Determinante der Matrix A - lambda E4 (E4: 4x4-Einheitsmatrix) durch Entwicklung nach der ersten Spalte schneller finden. Außerdem wird bei dieser Entwicklung gleich ein Linearfaktor abgespalten, so daß der Grad des Restpolynoms schon mal kleiner wird. Die übriggebliebenen 3x3-Determinante kann man schnell mit dem Satz von Sarrus erledigen, wobei wieder ein Linearfaktor ausgeklammert werden kann. Für den Rest vom Grad 2 braucht man dann noch nicht einmal die "pq-Formel"... Wink
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