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Induktion einer Ungleichung mit Fakultät
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user0009
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Anmeldungsdatum: 09.10.2007
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 09 Okt 2007 - 18:46:57    Titel: Induktion einer Ungleichung mit Fakultät

Hallo!

Ich habe folgendes Beispiel und komme nicht ganz weiter. Vielleicht kann mir jemand helfen.

Man beweise:

3^n <= 4n! für n >= 4

1) Induktionsbasis für n=4

3^n <= 4n! --> 3^4 <= 4*4! --> 81 <= 96 --> w. A.!

2) Induktionsvorraussetzung: für alle n € N, n >= 4 3^n <= 4n!

3) Induktions behauptung: 3^(n+1) <= 4*(n+1)!

4) Induktionsschritt:

3^n <= 4n! / multipliziert mit 3

3^(n+1) <= 3*4n!

Soweit bin ich mal gekommen, allerdings beweisen kann ich damit noch nicht das 3^(n+1) < = 4(n+1)! ist.
Ich weiss nicht wie ich mit der Fakultät weiter rechnen muss und wie ich den 3er auf der rechten Seite wieder wegbekomme.
Eine Überlegung war mal 3*4*(n-1)!*n, aber da habe ich wieder das Problem das da dann n-1 und nicht n+1 steht.
Allerdings kann ich aus n! nicht n!*(n+1) machen.

Vielen Dank für die Hilfe im voraus.

user0009
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 09 Okt 2007 - 18:50:31    Titel: Re: Induktion einer Ungleichung mit Fakultät

Hallo!
Du willst im Induktionsschritt
user0009 hat folgendes geschrieben:

3^(n+1) < = 4(n+1)!


beweisen, und hast schon
Zitat:

3^(n+1) <= 3*4n!


gezeigt.

Überlege mal, ob "<=" transitiv ist, d.h. ob aus a<=b und b<=c immer a<=c folgt. Wenn dem so ist, wie könntest du dies hier ausnutzen? Wink

Hinweis: Beachte, dass (n+1)!=(n+1)*n! ist und n>04, nach Voraussetzung...


Cyrix
user0009
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Anmeldungsdatum: 09.10.2007
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 09 Okt 2007 - 19:23:50    Titel: Re: Induktion einer Ungleichung mit Fakultät

cyrix42 hat folgendes geschrieben:
Hallo!
Du willst im Induktionsschritt
user0009 hat folgendes geschrieben:

3^(n+1) < = 4(n+1)!


beweisen, und hast schon
Zitat:

3^(n+1) <= 3*4n!


gezeigt.



Aber 3^(n+1) <= 3*4n! entspricht nicht der Induktionsbehauptung
3^(n+1) < = 4(n+1)! .

Zitat:

Überlege mal, ob "<=" transitiv ist, d.h. ob aus a<=b und b<=c immer a<=c folgt. Wenn dem so ist, wie könntest du dies hier ausnutzen? Wink


Wenn du scho so schreibt, nehme ich an, dass es sich hier um eine Transitivität handelt. Allerdings verstehe ich nicht ganz was das mit dem Beispiel und dem Beweis zu tun haben soll?
Ich habe nur a und b wenn man so will. Ein c gibt es nicht.
Oder meinst damit das 3^(n+1) < = 4(n+1)! und das 3^(n+1) <= 3*4n! doch gleich ist?


Zitat:

Hinweis: Beachte, dass (n+1)!=(n+1)*n! ist und n>=4, nach Voraussetzung...


Das ist schon klar das ich statt (n+1)! = (n+1)*n! schreiben kann, aber Anwenden kann ich es nicht.
Meine Überlegung wie schon im ersten Posting beschrieben war statt
3*4*n! 3*4*n*(n-1)! zu schreiben. Aber deshalb fällt der 3er auch nicht weg.
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