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Ein Homogen geladener Zylinder
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wawa
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Anmeldungsdatum: 26.03.2007
Beiträge: 501

BeitragVerfasst am: 11 Okt 2007 - 13:32:18    Titel: Ein Homogen geladener Zylinder

Hallo!

gegeben ein homogen galadener zylinder (Ladungsdichte roh=roh0), mit R und H das heißt x²+y²<= R² und -H/2<=z<=H/2.

So nun muss ich alle Multipolmomente ausrechnen bis hin zum Quadrupolmoment für die gegebene Ladungsverteilung.

So das Monopolmoment ist ja einfach Die Gesamtladung also der Volumen des Zylinders. Also:

Int von 0 bis 2pi über dphi * Int von 0 bis R über dr *Int von 0 bis H über dH.

So hier kriege ich 2*pi*R*H wenn irgendwas falsch bitet korrogieren!!! thx

So nun zum dipolmoment. Es ist eigentlich Int über vektor r *d³r . Ich weiß aber triotzdem nicht genau wie ich das Dipol ausrechenn soll??!!

So und nun zum Quadrupol allgemaein: Qij= Volumenintegral über (3*XiXj - r²)*d³r.

So nun habe ich die Koordinaten eingesetzt Int von 0 bis 2pi über (3x²-x²-y²-z²) dphi * Int von 0 bis H über dH * Int von 0 bis R über dr .

So für x² und y² setze ich dann die zylinderkoordinatenein und füre ganz normal 2 Integrationen.So nun muss ich ja ganz normal eigentlcih weiter integrieren aber ich weiß nicht, was ich mit der z² koordinaten machen soll wie soll ich sie inetgrieren??

Gruß

wawa
Nikolas1986
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Anmeldungsdatum: 08.08.2007
Beiträge: 645

BeitragVerfasst am: 11 Okt 2007 - 13:45:29    Titel:

Beim Monopol hast du etwas übersehen:

Du integrierst in Zylinderkoordinaten und musst da noch die Funktionaldeterminante der Transformation von kartesich zu Zylindrisch im Integral berücksichtigen. Sprich:

Int _0^R int _0 ^2pi Int_0^H r(!)*rho dZ dphi dR.

Dann bekommst du ein rho*2pi*H*1/2R^2 = piR^2H rho, was nichts anderes als Volumen*Dichte ist.

Deine Lösung hatte die Dimension einer Fläche*VolumenLadungsDichte, was nicht auf eine Ladung führt.

Wie es beim Dipolvektor aussieht, weis ich leider noch nicht genau Sad
Nikolas1986
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Anmeldungsdatum: 08.08.2007
Beiträge: 645

BeitragVerfasst am: 11 Okt 2007 - 15:26:35    Titel:

So: nun zum Dipolvektor:
Definiert über p_i = Int d^3r x_i rho(r) müsste hier gelten: (wenn wir den Urspung in das Zentrum des Zylinders legen:)
p_z = rho* Int d^3r h (also von jedem Punkt im Zylinder die x-Koordinate)
Also hast du dann ein normales Zylinderintegral über r*h was dann auf den Ausdruck p_z= rho/4 pi H^2R^2 führt.
Bei den anderen p_y=p_z komme ich auf ein Integral über r*sqrt(r^2-z^2) was ich dann nicht mehr so schnell lösen kann.
Knalltüte
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Anmeldungsdatum: 31.08.2007
Beiträge: 2932
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BeitragVerfasst am: 11 Okt 2007 - 15:42:31    Titel:

also das Dipolmoment sollte verschwinden, da zu jedem vektor r der Vektor -r im Volumen liegt und die Dichte ja homogen ist.

p_z = ∫∫∫ dρ dz dφ ρ * z * ρ_0 = ∫∫ ... ∫ dz z = ∫∫ ... z²|_{-h/2}^{h/2} = 0

p_x = ∫∫∫ dρ dz dφ ρ * ρ cos(φ) ρ_0 = ∫∫ ... ∫ dφ cos(φ) = 0

p_x = ∫∫∫ dρ dz dφ ρ * ρ sin(φ) ρ_0 = ∫∫ ... ∫ dφ sin(φ) = 0


∫θφρ
Nikolas1986
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Anmeldungsdatum: 08.08.2007
Beiträge: 645

BeitragVerfasst am: 11 Okt 2007 - 15:53:02    Titel:

Das hatte ich zuerst auch gedacht, bis ich die phi mit Theta verwechselt habe und mich dann verrechnet habe Smile
Wobei meine z-Rechung richtig ist, nur habe ich einen anderen Urspung gewählt.
Offensichtlich sind diese Momente noch Abhängig von der Wahl des Ursprungs.

Jetzt habe ich aber folgendes Problem: Ich habe gelesen, dass das erste nicht verschwindende Moment von der Wahl des Ursprungs unabhängig ist.
Die Ladung als niedrigstes Moment verschwindet offensichtlich nicht (auch nicht bei einer anderen Wahl des Origos).
Wenn jetzt der Dipol mit der Wahl des Ursprungs im Zentrum des Zylinders zum verschwinden gebracht werden kann, bei einer anderen Wahl aber nicht verschwindet, ist der Dipol dann das kleinste nicht verschwindende Moment, oder wie jetzt?
Knalltüte
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Anmeldungsdatum: 31.08.2007
Beiträge: 2932
Wohnort: gleich um die Ecke

BeitragVerfasst am: 11 Okt 2007 - 16:01:21    Titel:

das erste nicht verschwindende Moment wäre hier die Gesamtladung, die hier auch nicht von der Ursprungslage abhängt (tut sie ja nie).

Dafür dürfen dann alle anderen Terme von der Ursprungswahl abhängen, tut es ja auch. Ist ja auch logisch: Wenn ich eine nicht verschwindende Gesamtladung habe und sie vom Ursprung wegbewege habe ich sofort einen ungefähren Dipol von Q * Abstand erzeugt. Nur bei verschwindender Ladung passiert das nicht.
Nikolas1986
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Anmeldungsdatum: 08.08.2007
Beiträge: 645

BeitragVerfasst am: 11 Okt 2007 - 16:07:30    Titel:

Ich glaube, ich sollte heute nichts mehr schreiben. Shocked
Das die ladung nicht verschwindet und unabhängig vom Origo ist, habe ich doch exakt hingeschrieben und dann anscheinend sofort wieder vergessen. Ziemlich bescheuert.
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