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Mittelwertsatz (Beweis)
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Mittelwertsatz (Beweis)
 
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jawissimo
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Anmeldungsdatum: 12.02.2005
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 12 Feb 2005 - 18:50:29    Titel: Mittelwertsatz (Beweis)

Hallo!
Ich schreibe gerade meine Facharbeit. Das Thema lautet "Anwendung gängiger Kriterien zur Funktionsuntersuchung". Im Moment bin ich in der "ersten Phase des Verstehens" (d.h. es sind 1,5 Wochen von 6 um).
Meine Schwerpunkte sind dabei das MONOTONIEKRITERIUM (Besonderheiten und "Warnungen"), der SCHRANKENSATZ, der MITTEWERTSATZ und zu guter letzt KRITERIEN FÜR LOKALE/GLOBALE EXTREMA (Besonderheiten und "Warnungen")!

Ich hab soweit das Monotoniekrietrium ganz verstanden und den Schrankensatz mehr oder weniger auch (allerdings würde mir eine ausführliche Erklärung bzw. ein Beweis auf keinen Fall schaden Rolling Eyes ).
Nun stecke ich beim Mittelwertsatz etwas fest. Ich möchte den beweisen, aber ohne den "Satz von Roll", weil ich den nur schwer verstehe und das nicht zu meinem Aufgabenbereich gehört.
Auf meiner Vorlage, die ich vom Lehrer bekommen hab, steht, dass ich den Mittelwertsatz vom Schrankensatz herleiten soll Question .

Ich hoffe jemand kann mir hier weiterhelfen.
Danke im Vorraus.
noname Nr.1
Gast






BeitragVerfasst am: 12 Feb 2005 - 20:24:40    Titel:

http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwertsatz_der_Differentialrechnung
http://home.arcor.de/enibuddy/mathe/mittel1.htm
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/erlaeuterung/erlaeuterung77/
http://home.nordwest.net/doering/math/lk1/rolle/

usw
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 13 Feb 2005 - 01:04:36    Titel: Re: Mittelwertsatz (Beweis)

jawissimo hat folgendes geschrieben:
Ich möchte den beweisen, aber ohne den "Satz von Roll", weil ich den nur schwer verstehe und das nicht zu meinem Aufgabenbereich gehört.

Der heißt "Satz von Rolle"-und was ist an dem schwer zu verstehen? Der ist doch sehr anschaulich und einleuchtend, mehr als der Mittelwertsatz selbst z.B., und der Beweis ist damit doch ein Zweizeiler, wenn ich mich recht entsinne.
jawissimo
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Anmeldungsdatum: 12.02.2005
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 14 Feb 2005 - 17:10:47    Titel: Mittelwertsatz

Danke für die Links, aber in allen Fällen wird der Mittelwertsatz mit dem "Satz von Rolle" (diesmal richtig geschrieben Very Happy ) bewiesen. Ich nehme an es gibt wirklich keine andere Möglichkeit mehr, den Mittelwertsatz vom sog. "Schrankensatz" herzuleiten, weil das eigentlich meine Aufgabe ist.

Aber jetzt zum Beweis mit dem "Satz von Rolle":
1. Frage: Wie kommt man auf diese Funktion bzw. welche genaue Bedeutung hat folgende Funktion, die gleichzeitig den "Satz von Rolle" erfüllt:
g(x)=f(x) - f(a) - [ (f(b) - f(a)) / (b-a) ] * (x - a)

Also ich habe es selber auch geschaff diese Gleichung herzuleiten, weil ich wusste, wie sie letztlich aussehen muss, aber ihre Bedeutung (...) weiß ich nicht.
Ich hab angefangen mit der Vermutung für den Mittelwertsatz:
f'(x) = Δy/Δx
f'(x) = [ (f(b) - f(a)) / (b-a) ]
... nach weiteren "Vereinfachungen" kommt man auf:

0 = f(b) - f(a) - [ (f(b) - f(a)) / (b-a) ] * (b - a)
Wobei ich diese Gleichung g genannt hab und für b zweimal x als Variable eingesetzt hab, weil ich wie bereits oben erwähnt wusste, wie es aussehen muss. Ich kann das nicht erklären und sonst auch keine Eigenschaften dieser Funktion g nennen. Ich weiß nur, dass g die Vorraussetzungen für den Satz von Rolle erfüllt (warum weiß ich nicht, jedoch kenne ich dei einzelnen Bedingungen für den Satz von Rolle).
Ich hoffe, man kann mir weiterhelfen.
Danke im Vorraus.
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 15 Feb 2005 - 00:03:10    Titel:

Wie man auf die Funktion kommt ist dann eigentlich gar nicht mehr wichtig, wenn man sie einmal hat-es ist einfach eine geschickte Wahl, die man aber natürlich nicht auf Anhieb sieht. Um sie herzuleiten, muss man es so "rückwärts" rechnen, wie du es angedeutet hast. Dass die Funktion den Satz von Rolle erfüllt, sieht man, indem man die Voraussetzungen nachprüft-Randwerte einsetzen, dann sollte es hinkommen. (Die Voraussetzung war doch g(a) = g(b), oder?)
jawissimo
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Anmeldungsdatum: 12.02.2005
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 15 Feb 2005 - 16:41:27    Titel:

Die Vorraussetzung ist g(a)=g(b)=0, damit gibt es nach Rolle ein Maximum bzw. Minimum "k" für den Fall g(k) ≠ g(a)=g(b).
jawissimo
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Anmeldungsdatum: 12.02.2005
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 17 Feb 2005 - 18:25:59    Titel:

Hallo Physikus und alle anderen!

Es tut mir leid euch sagen zu müssen, dass ich nicht weiter komme. Ich raffe die Herleitung der Gleichung

g(x)=f(x) - f(a) - [ (f(b) - f(a)) / (b-a) ] * (x - a)

immernoch nicht. Ich weiß, dass du gesagt hast, dass die Herleitung dieser Funktion "keine Rolle mehr spielt" aber ich kann das so nicht in meine Arbeit schreiben und etwas was mir nich 100%ig klar ist sowieso nicht. Du sagtest, dass diese Gleichung eine "geschickte Wahl" sei... Rolling Eyes Wie genau?

Wenn man auf diese Gleichung gekommen ist, dann ist der Beweis ja schon so gut wie klar, aber ich beziehe mich auf die Seite "Projekt Mittelwertsatz":
http://home.arcor.de/enibuddy/mathe/mittel1.htm
Dort könnt ihr sehen, dass bevor die Gleichung g(x) gebildet wird, die dort h(x) heißt, man zuerst eine sogenannte Gleichung s bzw. s(x) annimmt. Ich hoffe ihr bzw. du Physikus kannst mir weiterhelfen. Ich bin auf euch angewiesen.
...
Jockelx
Gast






BeitragVerfasst am: 17 Feb 2005 - 18:47:43    Titel:

Hi,

die von dir genannte Seite ist doch super!
Ich weiss jetzt nicht genau, was unklar ist, soweit ich's verstanden
habe das Finden von h(x):

Indem du die Sekante von deiner Funktion abziehst, änderst du
den Grafen deiner Funktion so, dass die parallel zur Sekante
verlaufende Tangente jetzt parallel zur x-Achse verläuft, also
die Steigung 0 hat. Das ist ja genau das, was wir haben wollen.

Jockel
jawissimo
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Anmeldungsdatum: 12.02.2005
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 17 Feb 2005 - 19:15:47    Titel:

Wie kommt man da genau auf die Sekantengleichung?
Δy/Δx ist ja noch völlig klar.
Aber dann wird f(b) - f(a) / (b - a) einem anderen Argument gleichgesetzt, das dann nach s(x) aufgelöst wird.

[ (s(x) - f(a)) / (x-a) ] = [ (f(b) - f(a)) / (b-a) ]

Wie kommt man auf diese Gleichung?
Gast







BeitragVerfasst am: 17 Feb 2005 - 20:46:10    Titel:

Hier hat man versucht, die Funktionsgleichung der Sekante herzuleiten: s(x)=... . In den Punkten x=a und x=b gilt: s(a)=f(a) und s(b)=f(b), wo f(x) die eigentliche Funktion (Kurve) ist.

[(s(a)-f(a))/(b-a)] = [(f(b)-f(a))/(b-a)] => [(s(x)-f(a))/(x-a)] = [(f(b)-f(a))/(b-a)], (was bedeutet m=m)

Mit zwei Punkten ist jede Gerade eindeutig bestimmt, aber auch mit einem Punkt und der Steigung m, wie hier.

Wenn eine Gerade durch den Punkt mit Koordinaten (x1|y1) verläuft und die Steigung m hat, ist ihre Funktionsgleichung:
g(x) = y1 + m(x - x1)

Du musst nicht alles so machen wie auf diesen Seiten beschrieben ist, sondern so wie du es selbst verstehst.

Very Happy
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