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allgemeine Frage zur vollständigen Induktion
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kulturfenster
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Anmeldungsdatum: 28.01.2007
Beiträge: 348
Wohnort: Nerdpol

BeitragVerfasst am: 12 Okt 2007 - 09:55:08    Titel: allgemeine Frage zur vollständigen Induktion

hallo!

Ich habe eine allgemeine Frage zur vollstaendigen Induktion: Und zwar geht es darum, was fuer eine allgemeine Formel man aufstellt, wenn man die Induktionvoraussetzung (n=1) bewiesen hat.

bsp:

Beweis von X(n) = (n(n+1))/2
n = 1: (1(1+1))/2 = 1 => richtig
dann
X(n+1) = (n(n+1))/2 + (n + 1), womit die Formel bewiesen werden kann.

nun meine Frage: woher kommt das "n+1"?
Theorie und Wikipedia konnten mir leider nicht weiterhelfen...

vielen Dank für Hinweise!
Klunki
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Anmeldungsdatum: 09.10.2007
Beiträge: 2782

BeitragVerfasst am: 12 Okt 2007 - 10:00:06    Titel:

Setz mal für die 2. Gleichung auch in der 1. Gleichung für n->n+1 ein und fass das mal zusammen. Hab das zwar grad net ausgerechnet, aber wenn die Lösung richtig sein soll müsste man doch darauf kommen.
Klunki
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Anmeldungsdatum: 09.10.2007
Beiträge: 2782

BeitragVerfasst am: 12 Okt 2007 - 10:06:58    Titel:

Man kann es halt auch anders schreiben und deine Lösung is genau das gleiche wie :
((n+1)((n+1)+1))/2 nur halt zusammengefasst
kulturfenster
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Anmeldungsdatum: 28.01.2007
Beiträge: 348
Wohnort: Nerdpol

BeitragVerfasst am: 12 Okt 2007 - 10:09:26    Titel:

ja, das würde das Problem lösen. Nur wollte ich es für den allgemeinen Fall wissen.
allgemein formuliert lautet ein Induktionsansatz doch:
Summe(n+1) = Summe(n) + ???

was muss man addieren?
Klunki
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Anmeldungsdatum: 09.10.2007
Beiträge: 2782

BeitragVerfasst am: 12 Okt 2007 - 10:55:01    Titel:

Naja, im Allgemeinen nimmst einfach noch ein Glied dazu. Du hast ja die Summenformel gegeben und da setzte für k->n+1 ein. Kannst mal die Summenformel sagen? Man hat ja normalerweise sowat wie {n}Summe{k=1} 1/((2k-1)(2k+1))=(n-1)/(2n-1) !nur ein Beispiel!
und dann nimmste (n+1)Summe=(n)Summe+das linke Glied bloß für k->n+1 eingesetzt
kulturfenster
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Anmeldungsdatum: 28.01.2007
Beiträge: 348
Wohnort: Nerdpol

BeitragVerfasst am: 16 Okt 2007 - 11:01:52    Titel:

hmm, ich verstehe das leider immer noch nicht ganz. Wenn man für k n+1 einsetzt, bekommt man ja wieder das selbe (Summe(n+1)).

Vielleicht klappts aber mit einem konkreten Beispiel besser:

(n) Summenzeichen (k = 0) p^k = (1-p^(n+1))/(1-p), p != 1

ganz von vorne: Verankerung: n=1:
(1-p^2)/(1-p) = 1-p

hmm, das stimmt ja gar nicht mit dem ersten Element überein. Hab ich einen Fehler gemacht?
mkk
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Anmeldungsdatum: 05.04.2005
Beiträge: 483

BeitragVerfasst am: 16 Okt 2007 - 15:43:56    Titel:

Ich zitiere mich ungern selbst, aber hier noch einmal die vollständige Induktion:

1. Man zeigt, daß die Aussage für die kleinste natürliche Zahl der Teilmenge T (Startwert) wahr ist, d.h. man überprüft die Aussage einmal konkret für eine Zahl n.
2. Wenn man das - erfolgreich - bewerkstelligt hat, kann man also sagen:
Es gibt ein n aus T, so daß A(n) wahr ist für genau dieses n.
3. Jetzt geht es darum, den "Dominoeffekt" ins Rollen zu bringen: Man weiß ja, daß A(n) wahr ist für ein n aus T. Unter dieser Voraussetzung, also unter der Annahme, daß A(n) wahr ist (für ein festes n aus T) schließt man nun auf die Gültigkeit der Aussage für das nächste n, d.h. man folgert die Gültigkeit von A(n + 1) aus der Gültigkeit von A(n).

Jetzt ist man soweit, daß man sagen kann:
1.) Ich weiß, daß es ein n gibt, für das A(n) zutrifft.
2.) Wenn die Aussage A für eine feste Zahl n aus T gilt, dann auch für die nächste, also für n + 1.

Anders gesagt: man zeigt, daß man auf jede Stufe einer unendlichen Treppe kommen kann, indem man zeigt:
- ich komme auf die erste Stufe
- wenn ich mich auf einer Stufe befinde, dann komme ich auch auf die nächste.
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