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Aufgaben(Beweise): Ungleichungen, so in Ordnung?
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math_SD
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Anmeldungsdatum: 09.02.2006
Beiträge: 1166

BeitragVerfasst am: 21 Okt 2007 - 22:07:10    Titel: Aufgaben(Beweise): Ungleichungen, so in Ordnung?

Sorry, für die vielen Fragen, werden wohl noch einige Folgen, weil ich mir grad den Königsberger ein wenig anschaue und keine Lösungen zu den Aufgaben habe....nun ja, ich wollt' jetzt nur mal schauen, wie mir das so liegt mit dem Selbsterarbeiten, mit der analysis in diesem Fall.
So, jetzt zur Aufgabe(sind wohl erstmal einfache Aufgabe....^^)


Für positive Zahlen a,b definiert man das arithmetische, geometrische und harmonische Mittel durch
A(a,b):= (a+b)/2, G(a,b):=sqrt(ab), H(a,b) := 2ab/(a+b).
Man beweise H<=G<=A
und zeige, daß die Gleichheit der Mittel nur für a=b eintritt.

Lösung:
Wir wollen zeigen, dass H<=G.
Es ist
2ab/(a+b) <= (ab)^(1/2)
2ab <= a^(3/2)*sqrt(b) + b^(3/2)*sqrt(a)
2(ab)^(3/2) <= a^2b + b^2a
2(ab)^(1/2) <= a+b
0<= (a^(1/2) - b^(1/2))^2
was per Definition richtig ist.

Weiterhin zeigen wir G<=A
Es ist (ab)^(1/2) <= (a+b)/2 <=> 0 <= a - 2(ab)^(1/2) + b, was äquivalent zu der richtigen Aussage weiter oben ist und damit auch richtig.

Nun überprüfen wie, für welche a,b jeweils H=G, H=A oder G=A gilt.
H=G
2ab/(a+b)=ab^(1/2) /quadrieren/durch ab teilen / mit (a+b)^2 mulitplizieren ergibt
4ab= (a+b)^2 <=>0=(a-b)^2 <=> a=b
Damit muss a=b sein, damit H=G
A=G und A=H funktioniert analog.





Würd' mich freuen, wenn mal einer drüber schauen könnte, ob's so richtig ist.


Zuletzt bearbeitet von math_SD am 21 Okt 2007 - 23:25:35, insgesamt einmal bearbeitet
math_SD
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Anmeldungsdatum: 09.02.2006
Beiträge: 1166

BeitragVerfasst am: 22 Okt 2007 - 16:08:11    Titel:

Für a,b >=0 gilt:
|sqrt(a) - sqrt(b)| <= sqrt(|a-b|)

Lösung:

Es ist entweder a>=b oder b>=a.
Fall 1:
Unter Verwendung der Definition des Absolutbetrags:

Sei a>=b, so haben wir
sqrt(a) - sqrt(b) <= sqrt(a-b)

...[Nach einigen Äquivalenzumfomungen erhalte ich b<=a]
, was laut Voraussetzung richtig ist.

2.Fall:
Sei b>=a, so ist
-sqrt(a) + sqrt(b) <= sqrt(-a+b)
...
[...ich erhalte a<=b]
, was laut Voraussetzung richtig ist.
Damit ist für a<=b und a>=b die Ungleichung richtig, wzbw.



Kann man das so machen?
Ich habe so ziemlich gar keine Erfahrung mit Betrags(un)gleichungen, von daher sorry, falls ich Blödsinn geschrieben hab' ^^
Ansonsten bin ich für Belehrungen immer offen.
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