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unbekannte Gerade schneidet Kreis
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> unbekannte Gerade schneidet Kreis
 
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Lukas1990
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Anmeldungsdatum: 17.09.2007
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BeitragVerfasst am: 22 Okt 2007 - 13:54:18    Titel: unbekannte Gerade schneidet Kreis

Hey Ihr,

ich bin jetzt schon 2tage lang mit dieser Aufgabe beschäftigt, aba irgendwie waren alle meine Ansätze falsch, bzw. da kam irgendwas raus, was aber nachher bei der Kontrolle nicht richtig war.
Gegeben ist ein Kreis k: x²+y²=15
und eine Gerade wo ein Wert fehlt, Gerade g: x - 3y = c --> dabei soll man c herausfinden, diese Gerade soll den Kreis k berühren, also eine Tangente sein (soweit ich das verstanden habe).
Meine idee war zunächst die Gleichung g umformen (z.B. nach y auflösen) und mit k gleichsetzten. aba dann steht da nachher irgednwas von xc oder so ....
Könnte mir jemand sagen wie das funktioniert??
Danke
commander_keen
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Anmeldungsdatum: 01.07.2005
Beiträge: 120

BeitragVerfasst am: 22 Okt 2007 - 14:11:50    Titel:

zuerst bringe die gerade auf y = kx+d (das d bleibt unbestimmt)

dann kannst du in die sogenannte "berührbedingung" einsetzten:

(k*xm-ym+d)^2 = r^2*(k^2+1)

wobei xm und ym die koordinaten des kreismittelpunktes sind, r ist der radius. k und d kommen aus der gerade. dann kannst du dir das d bzw. das c ausrechnen.

falls du die berührbedingungn nicht gelernt hast, es geht bestimmt auch irgendwie anders, aber sicher nicht so schön einfach Smile
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 22 Okt 2007 - 14:29:47    Titel:

du weisst, dass der Berührradius senkrecht zur Tangente ist?
ok
Der Berührradius liegt auf der durch (0/0) gehenden Senkrechten zu g: x - 3y = c , also auf der Geraden y=-3x

wenn du nun y=-3x schneidest mit dem Kreis, dann erhältst du die beiden Berührpunkte der Tangente

dann brauchst du nur noch diese Koordinaten für x und y in g: x - 3y = c einsetzen und hast sofort auch die möglichen c
ok?
Lukas1990
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Anmeldungsdatum: 17.09.2007
Beiträge: 552
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BeitragVerfasst am: 22 Okt 2007 - 15:27:59    Titel:

okay, ich versuch das mal auszurechnen (erstmal nach comander_keen):

die gerade x-3y=c nach y auflösen:
<=> -3y=c-x ISad-3)
<=> y= 1/3x - 1/3 c

korrekt????

damit hätt ich k = 1/3
sowie die Kreiskoordinaten M = 0/0 und den Radius von √10'
einsetzten:

(√10' * 0 - 0 + d) ² = 10 * ( (1/3)²+1 )
<=> d² = 10 * 1/9 + 10
<=> d = 10/3

stimmt das???
Lukas1990
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Anmeldungsdatum: 17.09.2007
Beiträge: 552
Wohnort: Köln

BeitragVerfasst am: 22 Okt 2007 - 15:37:10    Titel:

is mir nich so ganz klar, con comander !!

mal zu mathefan:

eigentlich klingt das ja schon logisch^^ nur wie kommst du auf y=-3x ???
wenn de das erklärst find ich des gut^^
Marie1234
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Anmeldungsdatum: 22.10.2007
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 22 Okt 2007 - 15:48:58    Titel:

mathefan hat folgendes geschrieben:
Der Berührradius liegt auf der durch (0/0) gehenden Senkrechten zu g: x - 3y = c , also auf der Geraden y=-3x


Zeichne Dir mal zwei senkrechte Geraden und schau Dir die Steigung an, dann siehst Du, dass die Steigung der Senkrechten zu m=y/x
-x/y is, also umgekehrtes Vorzeichen und umgedrehter Bruch.

Die Gerade g: x - 3y = c löst Du mal nach y auf, also 3y = x - c --> y= 1/3 x - c/3, die Steigung ist als m= 1/3 und der negative kehrwert von 1/3 ist -3
Lukas1990
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Anmeldungsdatum: 17.09.2007
Beiträge: 552
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BeitragVerfasst am: 22 Okt 2007 - 16:00:52    Titel:

achso eine orthogonale, okay...

ABER warum eine orthogonale, dann werden doch nichtmehr die schnittpunkte von der geraden g berechnet, sondern die schnittpunkte der denkrechte zu g mit dem kreis oder???

kann vlt jemand mal den von mir ausgerechneten weg überprüfen? dankö
Lukas1990
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Anmeldungsdatum: 17.09.2007
Beiträge: 552
Wohnort: Köln

BeitragVerfasst am: 22 Okt 2007 - 16:11:57    Titel:

okay, jetzt hab ichs glaub ich^^ wir ham des sogar schon mal gemacht^^ Oo
Steigung der senkrechten zu g: -3
Mittelpunkt von Kreis k: 0/0

<=> -3x=y

die gleichung mit k gleichsetzten:
-3x = √x²-10'
Aber nächstes Problem^^, ... kurz vorm ende:
-10/8 = x²
dann geht des ja garnicht!! weil - Wurzel gibts ja nit Oo

bzw. wenn ich -3x in x²-y²=10 einsetze, kommt das raus: 10 = 10x² <=> x=0 und somit y=0
damit hätt ich für c=0 raus, und das kann nicht sein^^
commander_keen
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Anmeldungsdatum: 01.07.2005
Beiträge: 120

BeitragVerfasst am: 22 Okt 2007 - 16:30:12    Titel:

Zitat:
die gerade x-3y=c nach y auflösen:
<=> -3y=c-x I-3)
<=> y= 1/3x - 1/3 c

korrekt????


jep korrekt

Zitat:
(√10' * 0 - 0 + d) ² = 10 * ( (1/3)²+1 )
<=> d² = 10 * 1/9 + 10
<=> d = 10/3

stimmt das???


nicht ganz, in deiner angabe ist der radius √15, also
(1/3 * 0 - 0 + d) ² = 15 * ( (1/3)²+1 )
d^2 = 15*10/9
d^2 = 150/9
d = +-5*√6/3 (soll heisen entweder +5*√6/3 oder -5*√6/3)
du must wenn du die wurzel ziehst sowohl + als auch - beachten.

aus der geradengleichung
y= x/3 - x/3 erkennst du, dass d = -c/3

also
-c/3 = +-5*√6/3
-c = +-5*√6
c = +-5*√6
Lukas1990
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Anmeldungsdatum: 17.09.2007
Beiträge: 552
Wohnort: Köln

BeitragVerfasst am: 22 Okt 2007 - 16:32:14    Titel:

aso ne sry, da hab ich mich vertan, der radius is 10 (hab mich oben verschrieben)
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