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Gleichung einer Tangente
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Silvestro
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Anmeldungsdatum: 05.10.2007
Beiträge: 48

BeitragVerfasst am: 22 Okt 2007 - 14:32:52    Titel: Gleichung einer Tangente

Tja, hab mal wieder ein kleines Problem mit Mathe. Genauer genommen sind es 2 Aufgaben, die mir 2 Probleme bereiten.

Aufgabenstellung:

Gegeben ist der Kreis um M mit Radius r. Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Kreis im Punkt B.

1. Aufgabe:

M(1|4), r=5, B(-3|yB) mit yB>0

1. Rechung:

Erstmal habe ich in die Kreisgleichung eingesetzt um so die fehlende Koordinate und somit auch den Berührungspunkt B rauszubekommen:
Zitat:
k:(-3-1)² + (y-4)² = 25
16 + (y-4)² = 25
(y-4)² = 9
y-4 = 3
y = 7
=> M(1|4); B(-3|7)

Jetzt habe ich also 2 Punkte und rechne davon die Steigung aus:
Zitat:
m = (7-4) / (-3-1) = -3/4

Jetzt setze ich alle von mir errechneten Sachen (Steigung m und die Koordinaten von B) in die Gleichung ein und erhalte folgendes:
Zitat:
7 = 9/4 + n
n = 21/4


Ergebnis:

y = -3/4x + 21/4

Mein Problem:

Als Lösung müsste rauskommen y = -3/4x - 3
Wo ist also der Fehler?

__________________________________________________

2. Aufgabe:

M (-3|-1), r=8, B(xB|-1 mit xB>0

2. Rechung:

Ich setze einfach wieder in die Kreisgleichung ein, um dieses Mal den Wert für x rauszubekommen:
k: (x+3)² + (-1-1)² = 64
(x+3)² + 4 = 64
(x+3)² = 60

Mein Problem:

So, weiter komme ich nicht! Warum? Weil ich nicht weiß, wie ich diese Gleichung nun weiter ausrechnen soll. Bei der anderen Aufgabe konnte man einfach die Wurzel ziehen, aber hier geht das ja nun nicht so einfach. Für mich gibt es nun 2 Alternativen, die in Frage kämen:
1. Nach wie vor die Wurzel ziehen, dann käme x = -3 + Wurzel von 60 raus.
2. Die Klammer ausrechnen und dann in die abc-Formel einsetzen.
Welche Möglichkeit, wenn es denn eine von den von mir genannten Vorschlägen ist, ist denn die Richtige?

Ich danke euch schonmal für die Antworten.

MfG Silvestro
MothersLittleHelper
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Anmeldungsdatum: 01.04.2007
Beiträge: 2501

BeitragVerfasst am: 22 Okt 2007 - 15:14:48    Titel:

1. Aufgabe:
Zitat:
(y-4)² = 9
y-4 = 3
Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen
(y-4)² = 9
<=> y-4 = 3 oder y-4 = -3
<=> y = 7 oder y = 1

Es gibt also zwei Punkte, an die die Tangente gesucht ist:
B1( -3 | 7 ) und B2( -3 | 1 )

Nur mal zu B1:
Die Gerade durch M(1|4) und B1(-3|7) ist senkrecht zur gesuchten Tangente.
Diese Gerade hat die Steigung: mg = (7-4)/(-3-1) = -3/4.

Damit muss für die Steigung m der Tangente gelten: m = 4/3

Aus der Steigung m = 4/3 und dem Punkt B1(-3|7) kann die Gleichung der Tangente bestimmt werden:
y = (4/3)x + 11

Analog ergibt sich für die Tangente durch B2 an den Kreis:
y = (-4/3)x - 3

------------------------------------------------------------------------------
2. Aufgabe:
Wenn der Kreis den Mittelpunkt M (-3|-1) und den Radius r=8 hat,
dann gilt:
(x+3)² + (y+1)² = 8²

Wenn du die Koordinaten von B(x|-1) nimmst, erhälst du somit die Gleichung:
(x+3)² + (-1+1)² = 64
<=> (x+3)² = 64
<=> ...
Marie1234
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Anmeldungsdatum: 21.10.2007
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 22 Okt 2007 - 15:24:21    Titel: Re: Gleichung einer Tangente

Silvestro hat folgendes geschrieben:
Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Kreis im Punkt B.
M(1|4), r=5, B(-3|yB) mit yB>0

Als Lösung müsste rauskommen y = -3/4x - 3
Wo ist also der Fehler?


Der fehler liegt in Deiner Lösung, die Du als solche erwartest, k : M(1|4) r = 5
g : 3·x + 4·y = -12

Kreis und Gerade schneiden sich nicht
Silvestro
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Anmeldungsdatum: 05.10.2007
Beiträge: 48

BeitragVerfasst am: 22 Okt 2007 - 16:12:30    Titel:

MothersLittleHelper hat folgendes geschrieben:
Aus der Steigung m = 4/3 und dem Punkt B1(-3|7) kann die Gleichung der Tangente bestimmt werden:
y = (4/3)x + 11

Analog ergibt sich für die Tangente durch B2 an den Kreis:
y = (-4/3)x - 3

Ach soo, na dann. Aber woher weiß ich, welche der beiden Gleichungen die Richtige ist? Hinten im Buch steht, dass nur der Berührungspunkt P(-3|1) und die Tangentengleichung y = (-4/3)x - 3 richtig sind.
MothersLittleHelper
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Anmeldungsdatum: 01.04.2007
Beiträge: 2501

BeitragVerfasst am: 22 Okt 2007 - 16:16:49    Titel:

Beide Punkte erfüllen die Bedingung yB > 0.
Also wirst du auch beide Tangentengleichungen bestimmen müssen.

Die Lösung im Buch ist (vielleicht) unvollständig.
Auf Lösungen im Buch sollte man sich sowieso nur bedingt verlassen.
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