limes einer funktion f: RxR->R

commander_keen · Full Member Anmeldungsdatum: 01.07.2005 Beiträge: 120

hallo!

ich hab die folgende angabe, es geht um mehrdimensionale funktionen/partielle ableitungen und so

Gegeben sei die Funktion f(x; y) = (xy)/(x^2+y^2)
a) Bestimmen Sie den Defnitionsbereich Df
b) Zeigen Sie, dass lim (x;y)->(0;0) f(x; y) nicht existiert (Hinweis: Nähern Sie sich dem Ursprung auf einer Geraden g : y = kx)
c) Zeichnen Sie die Niveaumenge Nf(0) = {(x; y)|f(x; y)} = 0}
d) Zeichnen Sie die Funktion f(x; y) mittels Maxima
e) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen an der Stelle (1|2)

a) ist kein problem Df = RxR\{(0,0)}

aber wie ich b) machen soll, habe ich echt keine ahnung, auch der hinweis hilft mir nicht.

zu c) versteh ich das richtig? ich muss die Menge aller (x,y) zeichnen für die die funktion 0 wird also die funktion 0 setzen.

(xy)/(x^2+y^2) = 0
xy = 0
x = 0 v y = 0
dann wäre die niveaumenge Nf(0) = {(x,y)|x=0 v y=0}
wenn man das zeichnet ist das genau die x und die y-achse

stimmt das?

d) und e) sind wieder kein problem

danke für eure hilfe

MothersLittleHelper · Senior Member Anmeldungsdatum: 01.04.2007 Beiträge: 2501

zu b)

Dann bestimm doch mal für verschiedene k den jeweiligen Grenzwert:

z.B.: k = 1 => y = x
Also: lim[ (x,y) -> (0,0)]( (xy)/(x^2+y^2) )
= lim[ (x,x) -> (0,0)]( (x*x)/(x^2+x^2) )
= lim[ x -> 0 ]( x²/(2x²)
= lim[ x -> 0 ]( 1/2 )
= 1/2

z.B.: k = 3 => y = 3x
Also: lim[ (x,y) -> (0,0)]( (xy)/(x^2+y^2) )
= lim[ (x,3x) -> (0,0)]( (x*3x)/(x^2+(3x)^2) )
= lim[ x -> 0 ]( 3x²/(10x²)
= lim[ x -> 0 ]( 3/10 )
= 3/10

Welche Folgerung ziehst du daraus?

commander_keen · Full Member Anmeldungsdatum: 01.07.2005 Beiträge: 120

ok, danke, das ist schon mal ein ansatz

also allgemein heist das:

lim (x,y)->(0,0) (xy)/(x^2+y^2)

wenn ich y = kx einsetzte:

lim (x,y)->(0,0) (x^2*k)/(x^2+x^2*k^2)

lim (x,y)->(0,0) (x^2*k)/(x^2*(1+k^2))

lim (x,y)->(0,0) k/(1+k^2)

damit kann ich für alle k die grenzwerte bestimmen.

was ich aber nicht versteh ist, bei welchem k gelange ich zu dem punkt (0,0) von dem ich ja zeigen will das der limes dort nicht existiert?

wenn ich k erhöh, erhöhe ich doch nur die steigung der gerade Question

Wage

wie ich limes immer schon gehasst habe :/

commander_keen · Full Member Anmeldungsdatum: 01.07.2005 Beiträge: 120

kann mir dabei niemand helfen? Sad

MothersLittleHelper · Senior Member Anmeldungsdatum: 01.04.2007 Beiträge: 2501

Wenn ein Grenzwert existieren soll,
dann muss (schlampig formuliert)
die Grenze für jede (beliebige) Folge gleich sein.

Jetzt hast du aber zwei Folgen (für k = 1 und k = 3),
die beide gegen (0|0) streben.
Und die Folgen der Funktionswerte streben gegen zwei verschiedene Grenzen
(einmal für k = 1 gegen 1/2 und im anderen Fall für k = 3 gegen 3/10).

Nun überleg dir mal, ob das mit der Definition eines Grenzwerts
lim[ (x|y) -> (0|0)]( f(x,y) )
vereinbar ist.

commander_keen · Full Member Anmeldungsdatum: 01.07.2005 Beiträge: 120

danke, das leuchtet ein Idea

das ist also ungefähr so wie wenn ich bei einer eindimensionalen funktion links und rechtseitigen grenzwert vergleiche.
nur wenn diese in einem punkt gleich sind (und gleich dem funktionswert an diesem punkt) ist die funktion dort stetig.

also nur wenn für alle geraden, der gleiche grenzwert bei (0,0) herauskäme, wäre die funktion dort stetig.

das kann man doch so sagen, oder ? (ohne anspruch auf exaktheit)

danke jedenfalls, jetzt versteh ich warum man das so macht. Cool