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Die etwas schwerere Aufgabe
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XeeN
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Anmeldungsdatum: 16.10.2007
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 23 Okt 2007 - 22:23:52    Titel: Die etwas schwerere Aufgabe

Bewisen Sie die Aussage: " Wird der Punkt B eines Parallelogramms ABCD mit den Mittelpunkten der Seiten[AD] und [CD] verbunden, so teilen die Verbindungslinien die Diagonale[AC] in drei gleiche Teile."

Hat jemand eine Idee ?
MothersLittleHelper
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Anmeldungsdatum: 01.04.2007
Beiträge: 2501

BeitragVerfasst am: 23 Okt 2007 - 22:31:54    Titel:

Schöne Fingerübung für geschlossene Vektorketten.

Stell dir vor, das Parallelogramm wird durch die Vektoren
a = AB und b = AD
aufgespannt.
Dann kannst du alle Strecken (Vektoren) als Linearkombination der Vektoren a und b darstellen.
Und natürlich dann auch die Kombination von mehreren Strecken,
insbesondere wenn sich geschlossene Streckenzüge ergeben.

Da a und b linear unabhängig sind,
mussen die Koeffizienten von a und b in der Darstellung geschlossener Streckenzüge null sein.
XeeN
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Anmeldungsdatum: 16.10.2007
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 27 Okt 2007 - 22:49:50    Titel:

MothersLittleHelper hat folgendes geschrieben:


Dann kannst du alle Strecken (Vektoren) als Linearkombination der Vektoren a und b darstellen.
Und natürlich dann auch die Kombination von mehreren Strecken,
insbesondere wenn sich geschlossene Streckenzüge ergeben.

Da a und b linear unabhängig sind,
mussen die Koeffizienten von a und b in der Darstellung geschlossener Streckenzüge null sein.


ja also x)... ich glaub ich verstehe deine/Ihre Antwort nicht so ganz,
das sind ja die Grundsätze der Vektorrechnung, mir geht es um eine Idee wie man diese Aufgabe anpacken könnte, ich dachte eher an einen Ideenansatz, einen der ans Ziel führt.
MothersLittleHelper
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Anmeldungsdatum: 01.04.2007
Beiträge: 2501

BeitragVerfasst am: 28 Okt 2007 - 06:13:00    Titel:

Sieh hier:


Du siehst die geschlossene Vektorkette
AG + GB + BA = Nullvektor

Das Parallelogramm wird von a = AB und b = BC = AE aufgespannt.
Damit lassen sich die Vektoren in den Gleichungen (1) und (2) durch a und b ausdrücken:
AG = x*(a+b)
BE = -a + 0,5b
BG = y*BE = y*(-a+0,5b)
GB = - BG = y*(a-0,5b)
BA = -a

Damit hast du die Gleichungen:
x*(a+b) + y*(-a+0,5b) + (-a) = Nullvektor
<=> x*a + x*b - y*a + 0,5y*b - a = Nullvektor
<=> (x-y-1)*a + (x - 0,5y)*b = Nullvektor

Weil die Vektoren a und b linear unabhängig sind,
müssen beide Koeffizienten vor a und b gleich null sein

(1) x-y-1 = 0 | +1
(2) x-0,5y = 0 | *2
--------------------------------------
(1) x - y = 1
(2) 2x + y = 0 | (1)+(2)
--------------------------------------
(1) x - y = 1
(2) 3x = 1
--------------------------------------

Also x = 1/3.
Der Punkt G liegt auf einem Drittel der Diagonale AC.
Der Punkt G teilt die Diagonale AC im Verhältnis 1:2.


Analog zeigst du die entsprechende Eigenschaft für den Punkt H.

[ Der Punkt H liegt auf zwei Drittel der Diagonale AC.
Der Punkt H teilt die Diagonale AC im Verhältnis 2:1. ]
XeeN
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Anmeldungsdatum: 16.10.2007
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 17 Nov 2007 - 09:22:07    Titel:

Hey Smile Spitze,
wirklich gut erklärt.
Vielen Dank.
Mehrwissen
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Anmeldungsdatum: 20.04.2008
Beiträge: 76

BeitragVerfasst am: 24 Aug 2008 - 19:51:37    Titel:

HI,

finde auch, dass die Aufgabe gut erklärt ist, aber verstehe nicht ganz, warum man jetzt daraus schließen kann, dass AG ein dritteln von AC ist.
AC taucht doch in der Rechnung nicht auf.

Bitte um Hilfe!
Danke
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Anmeldungsdatum: 20.04.2008
Beiträge: 76

BeitragVerfasst am: 24 Aug 2008 - 19:54:46    Titel:

Hab es doch verstanden!!!!! Very Happy
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24251

BeitragVerfasst am: 24 Aug 2008 - 19:55:30    Titel:

Die Aufgabe kann man auch mit Mitteln der 7. Klasse (Strahlensätze) schön lösen. Dazu zeichene man mal die Parallele zu AC durch D ein, und schaue sich an, wie sich die Schnittpunkte der 3 von B ausgehenden Strahlen (durch A, D und C) auf dieser parallele zueinander verhalten. Smile

Man muss nur exzessiv Strahlensätze benutzen. Smile


Cyrix
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