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Eigenwerte und Eigenvektoren einer Dreiecksmatrix
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S1cK86
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Anmeldungsdatum: 17.06.2007
Beiträge: 82

BeitragVerfasst am: 26 Okt 2007 - 10:42:57    Titel: Eigenwerte und Eigenvektoren einer Dreiecksmatrix

Hi,

wir haben in der uni in mathe folgende aufgabe bekommen:

Wie bestimmt man die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Dreiecksmatrix?


hab ne weile drüber gegrübelt und festgestellt, dass die eigenwerte genau die diagonalelemente der matrix sein müssen (weil die determinante einer dreiecksmatrix das produkt der diagonalelemente ist, sind diese die nullstellen des charakteristischen polynoms).

zu den eigenvektoren ist mir allerdings nichts ein- oder aufgefallen. ich glaube aber nicht, dass die antwort ist, man kann sie dann ganz normal berechnen. da muss es auch noch irgendeinen trick geben....

bitte um hilfe
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 26 Okt 2007 - 11:45:11    Titel:

ich glaube die muss man ausrechnen.
mkk
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Anmeldungsdatum: 05.04.2005
Beiträge: 483

BeitragVerfasst am: 26 Okt 2007 - 12:06:46    Titel:

Also, ich glaube, daß zu jedem Diagonalelement a_kk der Matrix der Basisvektor b_k ein Eigenvektor ist ... und jetzt mal logisch weiterdenken! Wink
S1cK86
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Anmeldungsdatum: 17.06.2007
Beiträge: 82

BeitragVerfasst am: 26 Okt 2007 - 12:14:34    Titel:

ich weiß ehrlich gesagt nicht, was ich mit dem tipp anfangen soll...
also ich weiß, wie man die eigenvektoren berechnet. meine frage ist, ob es einen trick für dreiecksmatrizen gibt, mit dem das einfacher geht...
mkk
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Anmeldungsdatum: 05.04.2005
Beiträge: 483

BeitragVerfasst am: 26 Okt 2007 - 12:35:22    Titel:

Wenn a_11, a_22, etc. die Diagonaleinträge der Matrix sind, stimmen sie auch mit den Eigenwerten überein!
Die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes e_1 ist dann eben die Häufigkeit, wie oft e_1 auf der Diagonalen vorkommt.
Nach dem, was ich gerade gesagt habe, gehört zu a_kk der Eigenvektor b_k, d.h. der k-te Basisvektor (eine Spalte mit lauter 0en, nur an der k-ten Stelle eine 1).
Somit erhält man die Eigenräume aus den Basisvektoren und es folgt, daß die geometrische Vielfachheit mit der jeweiligen algebraischen Vielfachheit übereinstimmt!

Beispiel: Sei A eine 4x4-Dreiecksmatrix mit den Diagonaleinträgen 1, 2, 1 und 3. Die Eigenwerte sind also 1, 2 und 3.
Algebraische Vielfachheiten:
zum Eigenwert 1: 2
zum Eigenwert 2: 1
zum Eigenwert 3: 1.
Der Eigenraum zu 1 wird von den Basisvektoren (1,0,0,0) und (0,0,1,0) aufgespannt, hat also die Dimension 2 (geometrische Vielfachheit d. Eigenwertes 1),
der Eigenraum zu 2 wird aufgespannt von (0,1,0,0) und der zu 3 von (0,0,0,1) => geometrische Vielfachheiten von 2 und 3 sind beide 1.
Man braucht also gar nichts mehr zu rechnen, sondern nur noch abzulesen!
Beachte: da jeder Basisvektor als Eigenvektor zu irgendeinem Eigenwert auftaucht, kann die Dimension der Eigenräume nicht größer sein als die algebraische Vielfachheit vorgibt, d.h. die auf diese Art ermittelten Eigenvektoren bilden dann jeweils eine Basis des zugehörigen Eigenraumes (keine weitere Rechnung nötig!)
S1cK86
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Anmeldungsdatum: 17.06.2007
Beiträge: 82

BeitragVerfasst am: 26 Okt 2007 - 12:49:57    Titel:

ach so, verstehe was du meinst. hört sich auch gut an, aber ich hab ein beispiel, bei dem das nicht passt:
eine 3x3 matrix mit den zeilen ( 1 0 1 ) , ( 0 3 2 ), ( 0 0 2 )
die eigenwerte sind 1, 2, 3
zu 1 bekomme ich tatsächlich den basiseinheitsvektor (1 0 0)
die anderen beiden liefern jedoch nicht (0 1 0) und (0 0 1) sondern (1 -2 1) und (1 0 2), vorausgesetzt ich hab mich nicht verrechnet.
Hilfloser3a
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Anmeldungsdatum: 20.11.2015
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 09 Feb 2017 - 22:13:43    Titel:

Ich stehe vor exakt dem gleichen Problem wie der Threadersteller...
Hat nach zehn Jahren jemand eine Lösung des Problems gefunden? Rolling Eyes

Gilt das vielleicht nur für Diagonalmatrizen und nicht für Dreiecksmatrizen?

Danke!
Hilfloser3a
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Anmeldungsdatum: 20.11.2015
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 08 März 2017 - 15:17:26    Titel:

Kann keiner helfen?
M_Hammer_Kruse
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Valued Contributor


Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8230
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 08 März 2017 - 16:05:49    Titel:

Ach, Kinder ...

lies doch einfach mal hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksmatrix
Da steht die Antwort schon seit achteinhalb Jahren (genauer: seit dem 12. November 2008).

Gruß
mike
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