Tangenten / Berührpunkte an einer Normalparabel

sazou · Gast

Hey...
Ich hoffe ihr könnt mir helfen! Also, das ist die Aufgabe, woe sie im Mathebuch steht;

Vom Punkt P(-1|-1) sind die Tangenten an den Graphen der Funktion
x->x² gezeichnet.
Bestimme:
a) die Koordinaten der BErührpunkte.
b) die Gleichungen der beiden Tangenten in Normalform.

Kann mir da irgendwer bei helfen? Hab schon soviel überlegt, abers kommt nix bei rum...

Danke schonmal

sazou

Andromeda · Verfasst am: 16 Feb 2005 - 18:38:29 Titel:

Du hast die Randbedingungen gegeben.

Da die Tangenten durch den Punkt (-1 │ -1) geht, gilt für die Tangentengleichung y = m*x + b:

-1 = m*(-1) +b => b = m - 1

Dann, in den Berührungspunkten treffen sich Tangente und Kurve und die Steigung (1. Ableitung) muss gleich sein.

Sei x0 die x-Koordinate des Berührungspunktes, dann gilt

1) x0² = m*x0 + b und

2) 2*x0 = m => m = 2*x0

2) in 1) eingesetzt:

3) x0² = 2*x0*x0 + (m-1) =>

4) 2*x0² + 2*x0 -1 = 0

Dies ist ein quadratische Gleichung, mit der Lösung

x0(1,2) = -1 ± √2

Ergibt für die Berührungspunkte

x0(1) = -2,414 => y0(1) = 5,828
x0(2) = 0,414 => y0(2) = 0,171

Da m = 2*x0 und b = m -1 folgt für die beiden Tangenten

y1 = -4,828*x - 5,828
y2 = 0,828*x - 0,172

Gruß
Andromeda