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exponentialfunktionen
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tweetyradi
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BeitragVerfasst am: 16 Feb 2005 - 21:14:16    Titel: exponentialfunktionen

hi ich hatte die aufgabe gestern schon mal reingestellt und se wurde auch gelöst, aber ich verstehe die schritte nicht, könnte mir die vielleicht jemand sagen und für ganz doofe aufschreiben. danke, wäre sehr nett.

die ursprungsgerade y=mx berührt den graghen von "f(x) = e hoch x" im punkt P(z/e hoch z) als tangente. Bestimmen sie die berührstelle z.

viel spaß, ich hoffe ihr könnt dies lösen und mir erklären. danke.





Im Berührungspunkt muss die Gerade 1. den gleichen Wert wie dir Kurve aufweisen und 2. die gleiche Steigung (Ableitung) besitzen.

1.

m*z = e^z

2.

m = e^z

Daraus folgt

m = e und z = 1

Berührungspunkt ist also (1, e)
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 16 Feb 2005 - 21:59:06    Titel:

Ich probier es noch mal.

Sei y(x) = m*x die Gleichung für die Ursprungstangente und f(x) = e^x die Gleichung für die e-Funktion.

Wenn sich Tangente und Graf berühren im Punkt (z/e^z), dann muss an der Stelle z die Tangente den gleichen Wert wie der Graf aufweisen.

y(z) = f(z) daraus folgt

1) m*z = e^z

An der Stelle, an der die Tangente den Grafen berührt, müssen die Steigungen (1. Ableitung) gleich sein, sonst würde die Gerade den Grafen schneiden und nicht nur berühren.

Steigung (1.Ableitung) der Tangente y(x) = m*x ist

2) y'(x) = m

Steigung (1.Ableitung) des Grafen f(x) = e^x ist

3) f'(x) = e^x

Wenn nun die Steigungen an der Stelle z gleich sind, dann gilt

y'(z) = f'(z) daraus folgt

4) m = e^z

Jetzt habe ich die Gleichungen 1) und 4)

m*z = e^z und

m = e^z

daraus folgt, dass

m = m*z und somit

1 = z

Dieses Ergebnis setze ich jetzt in die Gleichung 4) ein

m = e^z = e^1 = e

also ist

m = e

Und da z = 1 ist, ist e^z = e^1 = 1 und damit ist der Berührungspunkt

(1 │ e)

Besser kann ich es nicht erklären. Aber vielleicht findet sich noch jemand.



Gruß
Andromeda
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