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Lösung einer Gleichung => Nullstelle
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Wiggle
Gast






BeitragVerfasst am: 18 Feb 2005 - 17:30:18    Titel: Lösung einer Gleichung => Nullstelle

Hey Leuts. Würde gerne mal einen Lösungsvorschlag für folgende AUfgabe haben:

ZU berechnen ist die Nullstelle (mit Taschenrechner) auf 3 Stellen nach dem Komma

f(x)= 2*sin(x) - x im Intervall: I=[0;3,14 (Pi) ]

kann mir wer weiterhelfen?

thx Smile
Gast







BeitragVerfasst am: 18 Feb 2005 - 20:50:53    Titel:

f(x) = 2*sin(x) - x

f(x) = 0
2*sin(x) - x = 0
2*sin(x) = x

x = 1,89549427 (=108,6038218°)

entweder rumprobieren, oder ein Näherungsverfahren anwenden Very Happy
Wiggle
Gast






BeitragVerfasst am: 18 Feb 2005 - 22:21:59    Titel: hmm

jo, thx, aber die Lösung an sich habe ich schon.

Ich hoffte darauf, dass mir jemand mit einem Weg weiterhelfen kann, der nicht aus Probieren oder Zeichnen (was sehr anstrengend wäre, da sich als Bild eine Treppenform herausbildet ^^) besteht.

Also, wär toll, wenn mir da jemand noch ein bissel weiter helfen kann Smile
Andromeda
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 18 Feb 2005 - 23:34:53    Titel:

Man kann die Nullstellen über das Bisektionsverfahren bestimmen. Lassen wir mal die Nullstelle x0 = 0 aus, die ist evident.

Man nimmt nun ein Intervall, in welchem die Nullstelle liegt. Dies kann man im Allgemeinen grob abschätzen.

Sei nun das Interval [a0=1, b0=2]

Dann bildet man den Wert


x1 = (a0 +b0) / 2

Wenn f(x1), also 2*sin(x1) - x1, nicht die Nullstelle ist, bestimmt man nun f(a0)*f(b0). Ist dieses Produkt < 0 , dann ist das neue Intervall [a0 , x1], ist das Produkt > 0, dann ist das neue Intervall [x1 , b0]

Dann wird das Verfahren wiederholt, die Intervalle werden mit jedem Schritt kleiner.

x2 = (x1 + b0) / 2

Das geht so weiter, bis man die gewünschte Genauigkeit erreicht hat.

DIe Rechnung mit a0 = 1 und b0 = 2

x1 = (1+2)/2 = 1,5 => f(1,5) = 2*sin(1,5) - 1 = 0.995 (also keine Nullstelle)

Jetzt ist (2*sin(1) - 1)*(2*sin(1,5) - 1,1) > 0, also ist da neue Intervall [1.5 , 2]

x2 = (1.5 + 2)/2 = 1.75 => f(1.75) = 0.218 (also auch noch nicht Nullstelle)

f(1.75)*f(2) = -0.04 und somit <0

Also ist das neue Intervall [1.75 , 2]

x3 = (1.75 + 2)/2 = 1.875 => f(1.875) = 0.033 (also fast Nullstelle)

x4 = (1.875 + 2) / 2 ......

x5 = (1.875 + 1.9375) / 2 .....

Bei der gewünschten Genauigkeit kann man dann aufhören.

Gruß
Andromeda
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