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[gelöst] einfache, gewöhnliche Differenzialgleichung
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sai
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Anmeldungsdatum: 08.11.2006
Beiträge: 51

BeitragVerfasst am: 14 Nov 2007 - 19:06:44    Titel: [gelöst] einfache, gewöhnliche Differenzialgleichung

Hallo!

mein Problem sieht wie folgt aus:

Differenzialgleichung:
y'=x²*y³

Anfangsbedingung:
y(0)=-1

Also, ich gehe nach Schritten vor, wie wir es gelernt haben:
1. Terme aufteilen, ich erhalte:
y'/y³ = x² bzw.
dy/y³ = x²*dx

2. integrieren ergibt:
-1/ ( 2*y² ) = x³/3

3. nach y umstellen:
y² = 1 / ( (-2/3)*x³ - 2*C)

y= +- sqrt ( 1 / (-2/3)*x³ - 2*C) )

Wenn ich jetzt von der Anfangswertbedingung y(0)=-1 einsetze, erhalte ich für C=-1/2:
-1= - sqrt ( 1 / (-2/3)*0³ -2*C) )
-1= - sqrt ( 1 / -2*C) )

Das ist allerdings falsch. C muss 3 sein. Ich seh aber nicht ein, wo ich was hätte anders machen können.
Allerdings steht in der Lösung schon eine 3 im Zähler:
y= - sqrt ( 3 / ( -2*x³ + 3 ) )
Ich krieg da keine hin, außer wenn ich bei diesem Schritt
y² = 1 / ( (-2/3)*x³ - 2*C)
die Konstant mal aus aus dem Nenner nehme und hinten wieder dran hänge. Dann erhalte ich
y² = ( (3 / (-2*x³ ) ) + C )
Einmal versteh ich nicht, warum ich sowas machen dürfte, und zweitens komme ich auch damit nicht auf die richtige Lösung. denn wenn ich y(0)=-1 wieder hernehme, dann würde ja beim Einsetzen eine 0 Im Nenner stehen, und das ist ja grundsätzlich verboten.

Danke,
sai


Zuletzt bearbeitet von sai am 14 Nov 2007 - 20:45:13, insgesamt einmal bearbeitet
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 14 Nov 2007 - 20:02:27    Titel:

Zitat:
2. integrieren ergibt:
-1/ ( 2*y² ) = x³/3 + Idea

also, hier solltest du bereits die Integrationskonstante c dabei haben

-> -1/ ( 2*y² ) = x³/3 + c Smile

das Umstellen liefert dann (rechne selbst nach):

y² = (-3) / ( 2x³ + 6c )

mit y(0)=-1 ergibt sich :

(-1)² = (-3) / ( 0 + 6c ) .. Arrow c= -1/2

dies eingesetzt in y² = (-3) / ( 2x³ + 6c ) ergibt y² = (-3) / ( 2x³ - 3 )
oder

y² = 3 / ( 3 - 2x³ )

oder ?
sai
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Anmeldungsdatum: 08.11.2006
Beiträge: 51

BeitragVerfasst am: 14 Nov 2007 - 20:29:19    Titel:

Ohman, dann hatte ich es ja von Anfang an richtig, nur dass ich am Ende nicht auf die Idee kam, 1/3 im Nenner auszuklammern. Harrrg. Mathe eben. Rolling Eyes Aber jetzt hab ich's ja, und das ist wichtig Wink

Ich danke sehr!!
sai
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