Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

Warum konvergiert diese Reihe?
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Warum konvergiert diese Reihe?
 
Autor Nachricht
Physikus
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 21 Feb 2005 - 15:40:09    Titel: Warum konvergiert diese Reihe?

So, wieder mal ein Problem beim Lernen für die FunkAna-Prüfung:

Um die Theorie der Hilberträume zu illustrieren, ist unser Prof auf die Hardyräume, speziell auf H^2(D) eingegangen. Dabei wurde eine Isometrie g: l_2(N_0) nach L_2^+ (S^1) definiert, wobei

L_2^+ (S^1) := {f € L_2(S^1) | ^f (k) = 0 für k < 0} sein soll (^f(k): k-ter Fourierkoeffizient von f, S^1 kompakte Einheitssphäre, d.h.
S^1 = {z € C | |z| = 1} ).

Mein erstes Problem: die Isometrie wurde definiert als

g(x_k) = Summe{k = 0 bis unendl.} (x_k * e^(ikt)), (*)

wobei (x_k) eine Folge in l_2(N_0) ist, also quadratsummierbar. Ich verstehe nun nicht, warum diese Reihe denn überhaupt allgemein konvergieren soll-es gibt doch durchaus quadratsummierbare Folgen, die nicht summierbar sind. Wenn ich z.B. x_k = 1/(k+1) nehme, dann divergiert die obige Reihe doch, oder nicht? Confused

Weiter wurde dann gesagt, dass dann die Fourierabbildung definiert ist als

F(x_k) = Summe{k = 0 bis unendl.} (x_k * z^k), |z| < 1

und dass diese Potenzreihe dann lokal gleichmäßig in der Kreisscheibe D = {z € C | |z| < 1} konvergiert. (Aus der Funktionentheorie schließt man dann, dass die Funktion holomorph ist.)
Wieso liegt dann eine lokal gleichmäßige Konvergenz in der Kreisscheibe D vor?

Wieder ziemlich fortgeschritten das Ganze, ich weiß. Sad Aber vielleicht kann mir wer weiterhelfen-möglich, dass es auch ganz einfach ist (sonst hätte er da ja irgendwie auch mehr zu sagen müssen), ich da aber ein Brett vorm Kopf habe.


Zuletzt bearbeitet von Physikus am 24 Feb 2005 - 17:54:22, insgesamt einmal bearbeitet
Physikus
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 24 Feb 2005 - 17:53:19    Titel:

Weiß das keiner? Sad Kann mir nicht wenigstens jemand sagen, ob meine Vermutung stimmt, dass die obige Reihe (*) z.B. für x_k = 1/(k+1) divergent ist? Und wenn das Ding tatsächlich nicht in immer konvergiert, verstehe ich den ganzen Sinn dahinter nicht, also warum man so die Isometrie definieren kann. Confused
Mirona
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 13.01.2005
Beiträge: 239

BeitragVerfasst am: 24 Feb 2005 - 20:49:58    Titel:

Hallo Physikus,

ich habe zwar nicht alle Bezeichnungen von dir verstanden (was zum Beispiel die k-ten Fourierkoeffizienten sein sollen oder wann etwas reell oder komplex sein soll) , aber es sollte auch so gehen.

Zitat:
Ich verstehe nun nicht, warum diese Reihe denn überhaupt allgemein konvergieren soll-es gibt doch durchaus quadratsummierbare Folgen, die nicht summierbar sind. Wenn ich z.B. x_k = 1/(k+1) nehme, dann divergiert die obige Reihe doch, oder nicht?


Also diese Folge x_k ist quadratsummierbar, liegt also in l_2(N_0), sollte also in die Abbildung g eingesetzt werden können.

Ich vermute t in der Formel (*) soll für ein Element aus S^1 stehen.
Wählt man t:= -i ( |t| = 1), so folgt

g(x_k) (t) = Summe{k=0 bis unendlich} ( x_k * exp(k) )

ist divergent, da das notwendige Konvergenzkriterium (die Folge der Koeffizienten der Reihe ist eine Nullfolge) nicht erfüllt ist, da exp(k) "schneller" gegen unendlich strebt als 1/(k+1) gegen Null.

(Ich gehe dabei davon aus, das du unter L_2 Funktionen verstehst, welche nicht den Wert unendlich annehmen dürfen, falls doch muss man halt noch etwas genauer überlegen).

(In der Formel (*) gibt es für t = -i und jede reelle Folge x_k ein "Konvergenzproblem" , sofern x_k nicht gerade "superschnell" gegen Null geht ( mindestens exponentiell schnell).

MfG Mirona
Mirona
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 13.01.2005
Beiträge: 239

BeitragVerfasst am: 24 Feb 2005 - 21:25:09    Titel:

Ich hoffe, ich habe die Frage richtig verstanden.

Zitat:
Weiter wurde dann gesagt, dass dann die Fourierabbildung definiert ist als

F(x_k) = Summe{k = 0 bis unendl.} (x_k * z^k), |z| < 1

und dass diese Potenzreihe dann lokal gleichmäßig in der Kreisscheibe D = {z € C | |z| < 1} konvergiert. (Aus der Funktionentheorie schließt man dann, dass die Funktion holomorph ist.)
Wieso liegt dann eine lokal gleichmäßige Konvergenz in der Kreisscheibe D vor?


Meine Antwort würde aus 2 Schritten bestehen.

1) Die Funktion F(x_k) (z) ist eine Potenzreihe (in z) , besitzt also einen Konvergenzradius r mit (0 <= r <= unendlich), so das F(z) konvergiert für alle z mit |z| < r.

Es genügt zu zeigen : r >= 1 .

Wegen x_k aus l_2 folgt Summe{k=0 bis unendlich){|x_k|^2} < unendlich (also diese Reihe konvergiert).
Das notwendige Konvergenzkriterium liefert |x_k|^2 ist eine Nullfolge.
Wegen der Stetigkeit der ()^2 Abbildung, ist auch |x_k| eine Nullfolge.

Also gilt für alle k ab einem Index K folgendes |x_k| <= 1 .

Daraus folgt schrittweise (für k grösser K):

(|x_k|)^(1/k) <= 1 (Monotonie der Wurzelfunktion, k=0 lasse ich mal weg)

lim sup (|x_k|)^(1/k) <= 1 (hier fallen die endlich vielen Ausnahmen k weg)

1/(lim sup (|x_k|)^(1/k)) >= 1 (mit der Konvention 1/0 = unendlich)

Nach der Hadamardschen Formel gilt r = 1/(lim sup (|x_k|)^(1/k)).

Also insbesondere r >= 1.

Schritt 2)

Da die Potenzreihe F(x_k) (z) für alle z mit |z| < 1 nach Schritt 1 konvergiert, konvergiert sie auf D absolut gleichmässig und damit auch lokal gleichmässig.

Zur Begründung : Dies kann direkt aus Eigenschaften von Potenzreihen abgeleitet werden, oder man kann auch die Funktionentheorie heranziehen, wonach analytische Funktionen (= lokale Potenzreihen) auch holomorph sind ( also diesen Zusammenhang zwischen analytisch, holomorph, ... und den Folgerungen daraus).

MfG Mirona
Physikus
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 25 Feb 2005 - 19:06:42    Titel:

Mirona hat folgendes geschrieben:
was zum Beispiel die k-ten Fourierkoeffizienten sein sollen

Huch? Der k-te Fourierkoeffizient ist immer ^f(k) = <f,e_k>, wobei e_k das k-te Element der benutzten Orthonormalbasis ist. Wink (da wir uns hier im Raum L_2 bewegen, ist e_k = exp(ikt).)

Zitat:
Ich vermute t in der Formel (*) soll für ein Element aus S^1 stehen.

Nö, sorry-t ist einfach eine reelle Zahl. Wink Somit passen leider deine weiteren Ausführungen nicht. Sad Die Reihe ginge also über 1/(k+1) * exp(ikt) mit reellem t.

Zitat:
(Ich gehe dabei davon aus, das du unter L_2 Funktionen verstehst, welche nicht den Wert unendlich annehmen dürfen, falls doch muss man halt noch etwas genauer überlegen).

f € L_2 bedeutet, dass f ein Repräsentant einer Äquivalenzklasse ist-man tut aber so, als wäre es eine Funktion, die bis auf eine Nullmenge eindeutig ist. (L_2 ist ein Quotientenraum aus dem Raum aller quadratintegrablen Funktionen mit ||f||_L2 < unendlich und dem Raum N aller Funktionen mit ||f||_L2 = 0.) Es geht immer um die Norm, die nicht unendlich sein darf-punktweise kann man solche Funktionen gar nicht auswerten, das ist nicht definiert, daher kann man auch nicht sagen, die Funktion wird irgendwo unendlich oder nicht. Ich weiß jetzt aber auch nicht genau, wie du das gemeint hast.

Die Ausführungen zur gleichmäßigen Konvergenz hab ich wohl so weit verstanden-dumm, dass er sowas in der Vorlesung irgendwie gar nicht erwähnt. Evil or Very Mad Na ja, wenn man sich seine Prüfungsprotokolle anschaut scheint das Thema zum Glück nicht wichtig zu sein; auf Hardyräume geht er wohl gar nicht ein. Aber sicher ist sicher. Cool
Mirona
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 13.01.2005
Beiträge: 239

BeitragVerfasst am: 25 Feb 2005 - 20:02:57    Titel:

Huhu Physikus.

Zitat:
Huch? Der k-te Fourierkoeffizient ist immer ^f(k) = <f,e_k>, wobei e_k das k-te Element der benutzten Orthonormalbasis ist. Wink (da wir uns hier im Raum L_2 bewegen, ist e_k = exp(ikt).)


Naja, gibt recht viele Dinge in der Mathematik(und auch noch ausserhalb), welche als Fourier-Transformation bezeichnet werden, deswegen bin ich mir da immer nicht so ganz sicher, was konkret gemeint ist.

Zitat:
Nö, sorry-t ist einfach eine reelle Zahl. Wink Somit passen leider deine weiteren Ausführungen nicht. Sad Die Reihe ginge also über 1/(k+1) * exp(ikt) mit reellem t.


Ahh, dann vergiss was ich geschrieben hab.
Ich dachte nur die Abbildung g bildet x_k auf eine Abbildung auf S^1 ab, also irgendwo in der Reihe sollte sich doch etwas von S^1 einsetzen lassen und über t wusste ich nicht was es sein sollte.
Somit stellt sich für mich die Frage, wo denn dort (unter g) eine Abbildung von S^1 entsteht und was denn das t für eine Bedeutung hat.

Und btw , wenn man für t=0 einsetzt , so ist die Reihe immer noch divergent. Laughing

Zitat:
f € L_2 bedeutet, dass f ein Repräsentant einer Äquivalenzklasse ist-man tut aber so, als wäre es eine Funktion, die bis auf eine Nullmenge eindeutig ist. (L_2 ist ein Quotientenraum aus dem Raum aller quadratintegrablen Funktionen mit ||f||_L2 < unendlich und dem Raum N aller Funktionen mit ||f||_L2 = 0.) Es geht immer um die Norm, die nicht unendlich sein darf-punktweise kann man solche Funktionen gar nicht auswerten, das ist nicht definiert, daher kann man auch nicht sagen, die Funktion wird irgendwo unendlich oder nicht. Ich weiß jetzt aber auch nicht genau, wie du das gemeint hast.


So was hab ich mir schon gedacht. Wollte nur anmerken, das dort gegebenenfalls noch aufzupassen ist (falls wir verschiedene Vorstellungen von L_2 haben).

Zitat:
Die Ausführungen zur gleichmäßigen Konvergenz hab ich wohl so weit verstanden-dumm, dass er sowas in der Vorlesung irgendwie gar nicht erwähnt.


Also die Ausführungen benutzen Wissen aus der Analysis 1 Vorlesung (allgemein Potenzreihen) oder der Funktionentheorie (das dort halt alles noch einfacher ist als in der reellen Analysis), hat also eigentlich nichts mit (linearer) Funktionalanalysis zu tun.

MfG Mirona
Physikus
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 26 Feb 2005 - 21:47:14    Titel:

Mirona hat folgendes geschrieben:
Und btw , wenn man für t=0 einsetzt , so ist die Reihe immer noch divergent. Laughing

Ja, eben-welchen Sinn hat es dann, das so zu definieren, wenn die Konvergenz eben nicht allgemein gesichert ist? Confused

Zitat:
Also die Ausführungen benutzen Wissen aus der Analysis 1 Vorlesung (allgemein Potenzreihen) oder der Funktionentheorie (das dort halt alles noch einfacher ist als in der reellen Analysis), hat also eigentlich nichts mit (linearer) Funktionalanalysis zu tun.

Dass es nicht direkt mit FunkAna zu tun hat, ist mir klar-nur ist es ja offenbar nix, was man mal eben sieht, da muss man schon ein wenig rechnen bzw. argumentieren für. Daher hätte er zumindest eine Bemerkung dazu machen können.
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Warum konvergiert diese Reihe?
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Seite 1 von 1

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum