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Diffeomorphismus
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Djinni
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Anmeldungsdatum: 03.12.2006
Beiträge: 33
Wohnort: Saarland

BeitragVerfasst am: 18 Nov 2007 - 16:33:30    Titel: Diffeomorphismus

Hallo!

Ich habe ein Problem mit einer, wie mir scheint, im Grunde sehr einfachen Aufgabe Wink

Zeigen Sie: S^1 ist diffeomorph zu P^1(R)

S^n ist eine Sphäre, in diesem Fall ist S^1 natürlich 'bloß' eine Kreislinie. P^1(R) ist eine projektive, reelle Gerade.
Wenn mich nicht alles täuscht, dann bedeutet der Diffeomorphismus, dass die Abbildung zwischen S^1 und P^1(R) bijektiv ist und sowohl f als auch die Umkehrabbildung beliebig oft stetig partiell differenzierbar sind.

Mit solchen Aufgaben habe ich leider noch gar keine Erfahrung, und weiß nicht, wie ich an diesen Beweis herangehen soll.

Für Hilfe wäre ich wirklich dankbar!
murania
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Anmeldungsdatum: 23.10.2005
Beiträge: 2602

BeitragVerfasst am: 18 Nov 2007 - 17:10:06    Titel:

Zitat:
Wenn mich nicht alles täuscht, dann bedeutet der Diffeomorphismus, dass die Abbildung zwischen S^1 und P^1(R) bijektiv ist und sowohl f als auch die Umkehrabbildung beliebig oft stetig partiell differenzierbar sind.

Ein Diffeomorphismus ist eine bijektive Abbildung, wobei sowohl f als auch f^-1 diffbar sind. Das was du beschrieben hast, ist ein C^k - Diffeomorphismus.


Zitat:
Mit solchen Aufgaben habe ich leider noch gar keine Erfahrung, und weiß nicht, wie ich an diesen Beweis herangehen soll.

Bei dieser Aufgabe würde ich mit den Polarkoordinaten eine Funktion basteln. Allerdings musst du dann ein Stück aus der Sphäre rausnehmen, damit deine Abbildung nicht die bijektivität verliert.
PatrickC
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Anmeldungsdatum: 09.11.2007
Beiträge: 82

BeitragVerfasst am: 18 Nov 2007 - 20:57:00    Titel:

murania hat folgendes geschrieben:

Ein Diffeomorphismus ist eine bijektive Abbildung, wobei sowohl f als auch f^-1 diffbar sind.


Naja, da gibts verschiedene Konventionen. Manche Autoren verlangen bei einem Diffeo stets C-unendlich diffbarkeit.

Gruß
Patrick
Djinni
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Anmeldungsdatum: 03.12.2006
Beiträge: 33
Wohnort: Saarland

BeitragVerfasst am: 19 Nov 2007 - 16:09:54    Titel:

Danke schon mal =)

Bei uns sollen das meines Wissens nach tatsächlich C-unendlich-Diffbarkeit sein.

Also, soweit ich das verstanden habe, muss ich f nach f^-1 und f^-1 nach f jeweils berechnen, überprüfen ob es bijektive Abbildungen sind, und zusätzlich müssen beide Funktionen diff.bar sein.

Die Kreislinie in Polarkoordinaten zu schreiben ist ja nicht unbedingt schwer. Aber wie komme ich dann bei f: S^1 --> P^1(R) auf P^1(R). Ich schätze, ich muss das irgendwie als Äquivalenzklasse schreiben, aber ich komm nicht drauf.

Und wie wäre es in die andere Richtung?

f^-1: [(x,y)] --> (x/r , y/r) mit r sqr(x²+y²) ?

So ganz verstehe ich die Aufgabe leider immer noch nicht ...
mkk
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Anmeldungsdatum: 05.04.2005
Beiträge: 483

BeitragVerfasst am: 20 Nov 2007 - 15:38:36    Titel:

Schon mal was von der stereographischen Projektion gehört?
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