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Monotoniekriterium und Kriterien für lokale Extrema
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BeitragVerfasst am: 22 Feb 2005 - 18:37:14    Titel: Monotoniekriterium und Kriterien für lokale Extrema

Hallo Leute!

I. Fangen wir mit dem Monotoniekriterium an. Es besagt:
------------------------------------------------------------------
"Wenn f' auf ganz I positiv ist, so wächst f auf I streng monoton."
Soweit so gut!

Dieses Kriterium ist jedoch so nicht unfelhbar, denn:
1.Warnung:
Das Monotoniekriterium ist nich umkehrbar. D.h. von der streng wachsenden Monotonie auf I kann nicht auf die Positivität der Ableitung auf ganz I geschlossen werden. Die Negativität der Ableitung kann aber ausgeschlossen werden.

2. Warnung:
Die Annahme, dass an einer genügend kleinen Umgebung von x0 die Funktion streng monoton wächst, wenn x0 eine positive Ableitung hat, ist nicht immer richtig.
Bsp: f(x) = X + 2X² * sin 1/x für x ≠ 0
und f(x) = 0 für X = 0
[Das ist so eine oszillierende Funktion, ursprünglich Sinusfunktion.]

Ich verstehe diese 2. Warnung nicht, denn nach dem ersten Teil wird noch folgendes ergänzt (ich zitiere):
"Immerhin hat f noch die Eigenschaft beim Durchgang durch die Stelle 0 zu wachsen. In der Tat gilt allgemein:
Ist f'(x0) > 0, so sind in einer hinreichend kleinen Umgebung von x0 alle Funktionswerte links von x0 kleiner und alle rechts von x0 größer als f(x0), d.h. f wächst beim Durchgang durch die Stelle x0."

Wieso wird sowas ergänzt, nachdem es zunächst ausgeschlossen wurde.
Wenn ihr es wisst, wie kann man das "beweisen" bzw. veranschaulichen. Es ist ein Teil von meiner Facharbeit und daher sehr wichtig.

II. Kriterien für lokale Extrema:
------------------------------------
1. Warnung:
Innere lokale Extremstellen differenzierbarer Funktionen sind stets Nullstellen von f', aber eine Nullstelle von f' muss nicht lokale Extremstelle von f sein.
Die Bedingung f'(x0) = 0 ist notwendig aber nicht hinreichend für die Existenz eines lokalen Extremums von f an der Stelle x0.

2. Warnung:
"Ein Vorzeichenwechsel von f' an der Stelle x0 ist lediglich hinreichend für die Existenz lokaler Extrema von f. Er ist aber nicht notwendig."
Das Bsp. dazu ist: f(x) = 2x² + x² * sin 1/x für x≠0
und f(x) = 0 für x = 0

Auch diesmal handelt es sich um eine oszillierende Kurve bei der Beispielfunktion, aber wie ich das sehe GIBT es diesen Vorzeichenwechsel, also ist für mich das Beispiel/Argument völlig unklar.

3. Warnung:
Die Bedingung f'(x) = 0 und f''(x) ≠ 0 bei in x0 zweimal differenzierbaren Funktionen ist lediglich hinreichend aber nicht notwendig für die Existenz eines lokalen Extremums von f an der Stelle x0.

Ich habe zu diesen Kriterien zur Funktionsuntersuchung absolut nichts im Internet gefunden. Ich bitte euch, soweit ihr es verstanden habt, mir diese Kriterien ausführlich zu erklären oder falls ihr Quellen aus dem Internet kennt sie mir zu nennen. Es ist wirklich sehr sehr wichtig.
Danke im Vorraus!
3li7är
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Anmeldungsdatum: 04.02.2005
Beiträge: 357

BeitragVerfasst am: 22 Feb 2005 - 18:57:04    Titel:

hallo

zum monotoniekriterium:

denke an x->x^3

ist s.m.s. mat aber bei 0 f'(0) = 0

2. warnung ???

f'(0) =0 was soll das also?

II. Kriterium

wieder x^3 : hat bei 0 f'(0) = 0 aber kein extremum

2. f'(0)=0

3. x^6

gruß
otto
jawissimo
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Anmeldungsdatum: 12.02.2005
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 22 Feb 2005 - 19:48:35    Titel:

Ich werde versuchen, das mit der 2. Warnung zum Monotoniekriterium mit meinem Lehrer zu klären, denn es besteht wirklich ein Widerspruch einersetis gilt wegen f(0) = 0 natürlich f'(0) auch = 0.
Aber im Text steht wortwörtlich für diese Funktion: "Die Ableitung von f an der Stelle 0 ist positiv"!

Natürlich so gropp verstehe ich das auch. Aber ich muss es genauer erklärt bekommen, damit ich es in meiner Arbeit dementsprechend genau und vor allem richtig beweisen und erklären kann.

MFG
jawissimo
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Anmeldungsdatum: 12.02.2005
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 22 Feb 2005 - 20:22:23    Titel:

Kennt jemand weningstens ein gutes Mathematik Analysis Buch(...), in dem das Thema ausführlich behandelt wird...
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