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abschnittsweise definierte Funtion
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RoVa
Gast






BeitragVerfasst am: 22 Feb 2005 - 22:28:51    Titel: abschnittsweise definierte Funtion

Hi,
ich bräuchte mal von einer Aufgabe eine erklärte Lösung folgende Aufgabe: Bestimmen Sie k e R so, dass die abschnittsweise definierte Funktion f an der Nahstelle xo stetig ist.

................ 1/2kx² + 2x - 5k für x <= 2
b) f(x) {
................ -2x² + 3/2kx für x > 2


ICh weis überhaupt nicht was ich mit den Parametern anfangen soll, habe bei dem Thema so schon Probleme.... Währe wirklich nett, wenn mir das mal jemand gründlich erklären könnte. Es ist sehr wichtig schreibe bald eine Arbeit darüber!!!! Danke im voraus. Achso das Ergebnis ist k=2.
Gast







BeitragVerfasst am: 22 Feb 2005 - 23:00:22    Titel:

f1(x) = 1/2kx² + 2x - 5k
f2(x) = -2x² + 3/2kx

Nahtstelle x0 = 2

Die gesamte Funktion wird stetig, wenn
f1(x0) = f2(x0) und
f1´(x0) = f2´(x0)
Gast







BeitragVerfasst am: 22 Feb 2005 - 23:04:59    Titel:

und wie berechne ich k?????
???
Gast






BeitragVerfasst am: 22 Feb 2005 - 23:57:06    Titel:

Sind die Angaben richtig?

Question
Spriet
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Anmeldungsdatum: 22.02.2005
Beiträge: 1
Wohnort: Lauta

BeitragVerfasst am: 24 Feb 2005 - 21:50:28    Titel: Re: abschnittsweise definierte Funktion

RoVa hat folgendes geschrieben:
Hi,
ich bräuchte mal von einer Aufgabe eine erklärte Lösung folgende Aufgabe: Bestimmen Sie k e R so, dass die abschnittsweise definierte Funktion f an der Nahstelle xo stetig ist.

................ 1/2kx² + 2x - 5k für x <= 2
b) f(x) {
................ -2x² + 3/2kx für x > 2


ICh weis überhaupt nicht was ich mit den Parametern anfangen soll, habe bei dem Thema so schon Probleme.... Währe wirklich nett, wenn mir das mal jemand gründlich erklären könnte. Es ist sehr wichtig schreibe bald eine Arbeit darüber!!!! Danke im voraus. Achso das Ergebnis ist k=2.


So das dauert ja ewig hier, hab aber jetzt die Lösung und will sie euch nich vorenthalten:

1) 2 element(€) des Definitionsbereiches(D) (wegen dem ist gleich bei x<=2)

2) f(x) lim[x->2]

3)rechts lim[h->0] f(2+h) = lim[h->] -2(2+h)²+3/2k(2+h) = -8+3k

links lim[h->0] f(2-h) = lim[h->] 1/2k(2-h)²+2(2-h)-5k = -3k+4

h->0 heist das h gegen null verläuft und brauch somit nichtbeachtet werden und ansonsten einfach nur zusammenfassen. Die Funktion wo x größer als 2 ist verläuft nach rechts auf dem Zahlenstrahl, also in den positiven Bereich dewegen f(h+1), und andersrum bei der in den negativen Bereich verlaufenden Funktion.

Gleichsetzen um k zu berechnen:

-8+3k=-3k+4 / +3k u. +8
6k=12 / /6
k=2

Einsetzen und stetigkeit überprüfen:

f(2+h) lim[h->0] -2(2+h)² + 3/2*2*(2+h) = -8 + 6 = -2
f(2-h) lim[h->0] 1/2*2*(2-h)² + 2(2-h) - 5*2 = 4 + 4 - 10 = -2

Ich hatte ja das Ergebnis schon, deswegen brauchte ich eigentlich nicht nochmal überprüfen, nur hat man das ja normaler weise leider nicht und wenn man sich nicht sicher ist, kann man das dann durchs einsetzen überprüfen. k wird ja über gleichsetzen berechnet, sodass die Funktionen stetig sind, deswegen muss das Ergebnis immer gleich sein bei der Überprüfung.

Bedeutungen:
Stetig: Eine Funktion f ist stetig, wenn
- der Funktionswert f(xo) existiert,
- die Funktion für x -> xo einen Grenzwert besitzt und
- Grenz- und Funktionswert an der Stelle x=xo gleich sind.

Anschaulich bedeutet das, dass kontinuierliche Änderungen des Arguments keine sprunghafte Änderung der Funktionswerte bewirkt.

Limis: Heist soviel wie Grenzweg mehr weis ich darüber nicht, jedenfalls nicht im Mathematischen sinne.

Parameter: damit ist das K gemeint, kann auch ein anderer belibiger Buchstabe sein...
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