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mankenkaan
Full Member
Anmeldungsdatum: 05.09.2006
Beiträge: 188
Wohnort: Dortmund
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 Verfasst am: 24 Nov 2007 - 15:44:13 Titel: Komplexe Gleichung lösen |
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Hallo, kann mir bitte jemand ein Tipp geben wie ich das lösen kann?
(z^2+i)^4=1 |
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Annihilator
Valued Contributor
Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6395
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)
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| Verfasst am: 24 Nov 2007 - 15:53:34 Titel: |
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Ja: Ausrechnen 
Löse die folgenden Teilgleichungen
z² + i = -1
z² + i = 1
z² + i = i
z² + i = -i |
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MothersLittleHelper
Senior Member
Anmeldungsdatum: 01.04.2007
Beiträge: 2501
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| Verfasst am: 24 Nov 2007 - 15:54:48 Titel: |
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(z^2+i)^4=1
Substituiere u = z^2 + i
Dann lös doch erstmal die komplexe Gleichung
u^4 = 1
<=> u = 1 oder u = -1 oder u = i oder u = -i
Wenn du jetzt resubstituierst, erhälst du vier Gleichungen,
die jeweils zwei Lösungen der Ausgangsgleichung liefern.
z^2 + i = 1
z^2 + i = -1
z^2 + i = i (hier gibt es eine doppelte Lösung)
z^2 + i = -i |
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mankenkaan
Full Member
Anmeldungsdatum: 05.09.2006
Beiträge: 188
Wohnort: Dortmund
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| Verfasst am: 24 Nov 2007 - 16:04:18 Titel: |
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ja soweit habe ich das auch.
z^2 + i = 1 z=(1-i)^0.5
z^2 + i = -1 z=(-1-i)^0.5
z^2 + i = i z=(i-i)^0.5 >0
z^2 + i = -i z=(-i-i)^0.5
Das Wurzelziehen von komplexen Zahlen habe ich nicht gemacht  |
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Annihilator
Valued Contributor
Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6395
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)
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| Verfasst am: 24 Nov 2007 - 16:11:28 Titel: |
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| Na und die Lösungen ? Bis jetzt hast du bloß umgesetellt... |
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mankenkaan
Full Member
Anmeldungsdatum: 05.09.2006
Beiträge: 188
Wohnort: Dortmund
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| Verfasst am: 24 Nov 2007 - 16:15:27 Titel: |
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| ja weiß ich nicht, habe ich doch gesagt. Das Wurzelziehen von komplexen Zahlen habe ich nicht gemacht. |
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mankenkaan
Full Member
Anmeldungsdatum: 05.09.2006
Beiträge: 188
Wohnort: Dortmund
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| Verfasst am: 24 Nov 2007 - 19:59:54 Titel: |
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| ?kann mir keiner helfen? |
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Annihilator
Valued Contributor
Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6395
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)
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| Verfasst am: 24 Nov 2007 - 20:11:15 Titel: |
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z = a + bi
abs(z) = wurzel(a² + b²)
arg(z) = {b>=0: arccos(a/abs(z)); b<0: -arccos(a/abs(z))}
z = abs(z) * exp(i*arg(z))
z^c = abs(z)^c * exp(ci * arg(z))
Das könnte dir weiterhelfen. |
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mathefan
Valued Contributor
Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8736
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| Verfasst am: 24 Nov 2007 - 20:47:10 Titel: |
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noch ein etwas anderer Vorschlag: Nimm den ersten Tipp von Annihilator :
| Zitat: |
Löse die folgenden Teilgleichungen
z² + i = -1
z² + i = 1
z² + i = i
z² + i = -i |
in folgender Form:
z² = -1 - i
z² = 1 - i
z² = 0
z² = - 2 i
und mache jeweils für z den Ansatz z= x + i y
also
z² = x² - y² + 2xy*i
das sieht dann zB für die vierte Gleichung so aus:
x² - y² + 2xy*i = 0 - 2*i
dh, es muss für die reellen Werte x, y das System gelten
x² - y² = 0
2xy = - 2
also y = -1/x eingesetzt -> x² - 1/x² = 0 -> x^4 =1 und da x reell _> zwei Lösungen x=1 oder x=-1
-> z1= 1 - i
und
z2 = -1 + i
usw..
(mache für die übrigen drei Gleichungen entsprechende Überlegungen..)
ok? |
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mankenkaan
Full Member
Anmeldungsdatum: 05.09.2006
Beiträge: 188
Wohnort: Dortmund
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| Verfasst am: 24 Nov 2007 - 21:18:06 Titel: |
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| ja ok danke erstmal |
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