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lineare abhängigkeit
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Mareile
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Anmeldungsdatum: 03.11.2007
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BeitragVerfasst am: 24 Nov 2007 - 17:14:34    Titel: lineare abhängigkeit

Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Ferner seien vier linear unabhängige Vektoren v1,....,v4 aus V gegeben. Sind dann auch die Vektoren w1=v1+v2 w2=1/2(v1+v2+v3+2v4) w3=v2+3v4 w4=v3-v4 linear unabhängig?

Ich habe dann die Vektoren w1-w4 in ein lineares gleichungssystem eingesetzt und versucht aufzulösen. Dabei bin ich auf folgendes Ergebnis gekommen: v2+3v3+3v4 ist ungleich null.

Somit würde ich sagen, dass die Vektoren w1-w4 auch linear unabhängig sind.

Jetzt wollte ich gerne wissen ob ich bei dieser Aufgabe überhaupt so vorgehen kann und wenn ja, ob meine Lösung richtig ist. Ich hoffe mir kann jemand helfen bzw. ihr versteht was ich meine.
Danke. Smile
MothersLittleHelper
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Anmeldungsdatum: 01.04.2007
Beiträge: 2501

BeitragVerfasst am: 24 Nov 2007 - 17:44:50    Titel:

Der Nullvektor wird linear kombiniert aus den w-Vektoren.

a*w1 + b*w2 + c*w3 + d*w4 = 0

Wenn jetzt gezeigt werden kann, dass a = b = c = d = 0 folgt,
dann sind die w-Vektoren lin. unabhängig.


Dann setze für die w-Vektoren ihre Darstellung bzgl. der v-Vektoren ein.

a*(v1+v2) + b*(1/2(v1+v2+v3+2v4)) + c*(v2+3v4) + d*(v3-v4) = 0

Nach den v-Vektoren umsortieren.

(a + (1/2)b)*v1 + (a + (1/2)b + c)*v2 + ((1/2)b + d)*v3 + (b + 3c - d)*v4 = 0

Da die v-Vektoren lin. unabhängig sind, muss gelten

(a + (1/2)b) = 0
(a + (1/2)b + c) = 0
((1/2)b + d) = 0
(b + 3c - d) = 0

Das sieht doch nach einem Gleichungssystem für die gesuchten Variablen a, b, c und d aus. Wink
Mareile
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Anmeldungsdatum: 03.11.2007
Beiträge: 23

BeitragVerfasst am: 24 Nov 2007 - 17:53:39    Titel:

Ok habe verstanden was du meinst, aber ist meine Lösung dann komplett falsch? Denn ich habe ja auch raus, dass die Vektoren linear unabhängig sind.
Very Happy
MothersLittleHelper
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Anmeldungsdatum: 01.04.2007
Beiträge: 2501

BeitragVerfasst am: 24 Nov 2007 - 17:56:23    Titel:

Da ich nicht weiß, in welches Gleichungssystem du die Vektoren w1 bis w4 eingesetzt hast,
kann ich über deine Lösung keine Aussage treffen.
Mareile
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Anmeldungsdatum: 03.11.2007
Beiträge: 23

BeitragVerfasst am: 24 Nov 2007 - 18:04:45    Titel:

ich habe für w1=v1+v2
w2=0,5(v1+v2+v3+v4)usw. eingesetzt und dann habe ich die variablen weg gekürzt und eine lösung ungleich null rausbekommen. daraus folgt linear unabhängig. lösung :v2+3v3+3v4=0 also ungleich
MothersLittleHelper
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Anmeldungsdatum: 01.04.2007
Beiträge: 2501

BeitragVerfasst am: 24 Nov 2007 - 18:10:07    Titel:

Question Ich glaube, wir reden aneinander vorbei.

Wie lautet deine Gleichung, in die du die w-Vektoren eingesetzt hast?

Schreib doch mal deinen genauen Ansatz auf.
Mareile
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Anmeldungsdatum: 03.11.2007
Beiträge: 23

BeitragVerfasst am: 24 Nov 2007 - 18:19:15    Titel:

w1=v1+v2
w2=1/2(v1+v2+v3+2v4)=1/2v1+1/2v2+1/2v3+v4
w3=v2+3v4
w4=v3-v4

w2+w4=w2'

w2'=1/2v1+1/2v2*3/2v3 diese zeil mit zwei multipliziert
w1-w2'=w2``
dann w2''-w3
das was dann raus kommt ist mein ergebnis
MothersLittleHelper
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Anmeldungsdatum: 01.04.2007
Beiträge: 2501

BeitragVerfasst am: 24 Nov 2007 - 18:26:43    Titel:

Das ist kein zielgerichtetes Arbeiten!

Welche Sinn macht es
w2' = w2 + w4
bzw.
w2'' = w1 - w2'
und anschließend
w2'' - w3
zu berechnen.

Muss der zuletzt ausgerechnete Term eine Eigenschaft haben,
die unmittelbar auf die lineare Unabhängigkeit der w-Vektoren schließen läßt?

Nein.
Das ist ein Stochern im Nebel.


Derartige Aufgaben werden (immer) so angegangen,
dass die definierende Eigenschaft der lin. Unabhängigkeit der Vektoren der Startpunkt ist.
(Siehe auch meinen Lösungsvorschlag.)
Mareile
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Anmeldungsdatum: 03.11.2007
Beiträge: 23

BeitragVerfasst am: 24 Nov 2007 - 18:43:29    Titel:

ja ok aus fehlern soll man ja bekanntlich lernen.trotzdem danke das du mir geholfen hast. Very Happy
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